2018年高考数学 黄金100题系列 第20题 函数零点的个数问题 理

①判别式?确定零点是否存在；②对称轴的位置控制零点的位置；③端点值的符号确定零点的个数． 【易错指导】

对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数f?x?在?a,b?上连续；（2）满足f?a??f?b??0． 上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．

另外需要注意的是：（1）若函数f?x?的图象在x?x0与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； （2）函数的零点不是点，它是函y?f?x?数与x轴的交点的横坐标，是方程f?x??0的根． V．举一反三·触类旁通

【例1】【2018云南昆明一中高三一模】若函数f?x??x，则函数y?f?x??log1x的零点个数是（ ）

2A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D

【解析】如图：函数f?x?与函数g?x??log1x有2个交点，所以选D．

2

【例2】【2018河南漯河高中高三上学期二模】已知函数时，

，则函数

是上的偶函数，且

，当

的零点个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B

【例3】【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数f?x??{1?8sin2x?x?0? ，???f?x???x?0?2?2?则函数h?x??f?x??log4x的零点个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D

f?x??1???1??3????f?x????4sin2?x????2sin2x；当??x?时， ?x???，据此可得：2?2?22?222?f?x??log412??1????5???时， f?x??????2sin2?x????sin2x；当x?42?2?2?????5?f??4??5??sin??2?4?????1，而?5??3?则函数y?log4x与函数f?x?在区间??,?log44?1，

24?3??上有2个交点，很明显，当时，x??2?函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数h?x??f?x??log4x的零点个数为5个．

【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点．

9x2?x?,x?0 ，若方程f?x??a有两个【例4】【2018贵州黔东南州第一次联考】已知函数f?x??{4x?2,x?0不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．???59??59??59?,?????2,??? B．??2,???C．??,?????2,??? D．??,?????2,???

?24??24??24?【答案】C

9x2?x?,x?0 的图象如下： 【解析】作出函数f?x??{4x?2,x?0

【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【例5】【2018黑龙江海林模拟】设f?x??x?bx?cx?d，又k是一个常数，已知k?0或k?4时，

32f?x??k?0只有一个实根，当0?k?4时， f?x??k?0有三个相异实根，给出下列命题：

①f?x??4?0和f'?x??0有一个相同的实根； ②f?x??0和f'?x??0有一个相同的实根；

③f?x??3?0的任一实根大于f?x??1?0的任一实根； ④f?x??5?0的任一实根小于f?x??2?0的任一实根． 其中正确命题的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A

f?x??x3?bx2?cx?d，

当k0或k4时， f?x??k?0只有一个实数根；

当0?k?4时， f?x??k?0有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故f?x??4?0 与f??x??0有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确．

f?x??0与f??x??0 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确； f?x??3?0有一实根且函数最小的零点，

f?x??1?0有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误； f?x??5?0有一实根且小于函数最小零点，

f?x??2?0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；

所以A选项正确．

【点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，如果有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对k是一个常数，当k?0或k?4时， f?x??k?0只有一个实根，当0?k?4时， f?x??k?0有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图像，数形结合，逐一验证．

【例6】【2018安徽阜阳临泉一中高三上学期二模】已知

，若关于的方程

恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．

【答案】