江苏省南京市2018届高三上学期期初学情调研考试数学试卷(含答案)

所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k2－32k2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解． 综上，k＝2，t＝3． ………………………16分

－－

南京市2018届高三年级学情调研

数学附加题参考答案及评分标准

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指

定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD，因为DA=DC，

D 所以∠DAO=∠C．………………………2分

在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，

A B O 所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．

………………………5分

因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，

（第21A题） 从而DOC＋C＝90°，即2C＋C＝90°，

故∠C＝30°， ………………………7分 所以OC＝2OD＝2OB，

所以CB＝OB，所以CA＝3CB． ………………………10分

B．选修4—2：矩阵与变换

C ?－21

解：（1）根据逆矩阵公式，可得A＝?31

?－

2?2

－1

?

?． ………………………4分 ??

(x

，y

)，

（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P

?x则??y

因为(x

?x＝x＋2y，??12??x??x＋2y?

?＝?34? ??＝??，所以?y＝3x＋4y．……………………8分

?y??3x＋4y???

，y)在曲线C上，所以6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，

化简得8y2－3x2＝1，

所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1． ………………………10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

?x＝－1＋t，

解：由直线l的参数方程为?，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．

?y＝t

………………………2分

?x＝a＋cos，

由圆C的参数方程为?，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．

?y＝2a＋sin

………………………4分

∣a－2a＋1∣

因为直线l与圆C相切，所以＝1， ………………………8分

2解得a＝1±2．

所以实数a的值为1±2． ………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲

解：(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；……………………2分

(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）

→→→解：（1）以{AB，AD，AP }为单位正交基底，建立如图所示的空

间直角坐标系A－xyz． 因为AP＝AB＝AD＝1，

所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)． 设C(1，y，0)，

→→

则PB＝(1，0，－1)，CD＝(－1，1－y，0)．

x B （第22题） A D y C

z P …………………………2分

π

因为直线PB与CD所成角大小为，

3

→→PBCD1→→

所以|cos＜PB，CD＞|＝||＝，

2→→

∣PB∣∣CD∣即

11

＝，解得y＝2或y＝0（舍），

2×1＋(1－y)22

所以C(1，2，0)，

所以BC的长为2． ………………………5分 （2）设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)．

→→

因为PB＝(1，0，－1)，PD＝(0，1，－1)， →??PBn1＝0，?x－z＝0，则?即?

→?y－z＝0．??PDn1＝0，

令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)． ………………………7分 因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，

n1n23

所以cos＜n1，n2＞＝＝，

∣n1∣|n2∣3所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为

23．（本小题满分10分）

解：（1）两个球颜色不同的情况共有C4?42＝96(种). ………………………3分

（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．

4

P(X＝0)＝3

P(X＝1)＝2

P(X＝2)＝

1

2

2

3

． ………………………10分 3

C41

＝， ………………………5分 964C4?C33

＝， 968C4?C31

＝， 964

11

11

1

C4?C31

P(X＝3)＝＝．

968

所以随机变量X的概率分布列为：

所以E(X)＝0

1＋14

3＋28X P 0 1 41 3 8 1＋34

2 1 43 1 8………………………8分

15

＝． ………………………10分 84