2014年中考真题 - 反证法综合训练

（1）若，则a=3；

（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．

分析： （1）利用a=﹣3时，

，但a≠3，得出命题错误； （2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线． 解答： （1）解：是假命题， 当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题； （2）是真命题， 证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠DFC=∠DEB=90°， 在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）∴BD=CD， ∴AD是△ABC的中线，∴所以命题（2）是真命题． 21．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”． 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°． 证明：假设求证的结论不成立，那么 三角形中所有角都大于60° ∴∠A+∠B+∠C＞ 180°

这与三角形 的三内角和为180° 相矛盾． ∴假设不成立 ∴ 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度 ． 分析： 根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 解答： 证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°， 这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立， ∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度． 故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度． 22．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）

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分析： 运用反证法进行求解： （1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立． （2）从假设出发推出与已知相矛盾． （3）得到假设不成立，则结论成立． 解答： 证明：①假设PB=PC． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB． ∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP， 在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP， ∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的． ②假设PB＞PC， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC． ∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC， ∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC， ∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾， ∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC． 23．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．

分析： 运用反证法进行求解： （1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立． （2）从假设出发推出与已知相矛盾． （3）得到假设不成立，则结论成立． 解答： 证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB； 又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB； ∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC； 与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC． 24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．

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分析： 直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM=MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N，AC=BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系，进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确． 解答： 解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上． 延长AM到N，使AM=MN，连接BN； 在△AMC和△NMB中， BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC； 根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB， 即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾． 因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上． 25．用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．

分析： 利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE∥CD，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 解答： 证明：连接DE， 假设BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD， ∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分． 11