2019年温州市普通高中高考适应性测试一模数学试题及答案

21. （本题满分15）如图，过F的直线交抛物线于A?x1,y1?，B?x2,y2?F是抛物线y2?2px?p?0?的焦点，

两点，其中y1?0，y1y2??4．过点A作y轴的垂线交抛物线的准线于点H，直线HF交抛物线于点

P，Q．

（1）求p的值；

（2）求四边形APBQ的面积S的最小值．

yHPOFBQ

22. （本题满分15）已知实数a?0，设函数f?x??eax?ax．

（1）求函数f?x?的单调区间；

1a（2）当a?时，若对任意的x???1,???，均有f?x??x2?1，求a的取值范围．

22Ax??注：e?2.71828

为自然对数的底数．

2019年11月份温州市普通高中高考适应性测试

数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．?2?i，5； 12．25，x2?y2?4x?2y?0 13．1，?1； 14．15．600； 16．5； 17．{?3,5?三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．(Ⅰ)由正弦定理，得asinB?bsinA?3sinA， 2323,1?}． 99153，8； 4?； 1?cos?2x?2????1?cos2x32??32????(Ⅱ)f(x)?cos?x???cosx?2??1??33?33??2 ??sin2x?cos2x??sin?2x??， 2?23????2??2?2因0≤x≤，故?≤2x?≤， 2333333???于是?≤sin?2x??≤1，因此?≤f?x?≤42， 2??33?3?即f(x)的值域为??,?. 42??19．（I）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连结AN，DN，BM.

又A为锐角，故A?因DP?DB，N为PB的中点， 故PB?DN. 同理，PB?AN，BM故PB?平面DNA. 故PB?AD.

因平面PAD?平面PBA，平面PAD平面PBA?PA，

则sinA?asinB?4sinA?23，得sinA?3， 2?PA. DBM?平面PBA，BM?PA，

故BM则BMCPNBMA?平面PAD. ?AD.

又PB，BM是平面PBA中的相交直线， 故AD?平面PBA.

（II）法一：设直线AB和DC交于点Q，连结PQ，则PQ?PA.

因面ADP?面ABP，故PQ?面PAD， 则面PQD?面PAD.

取PD的中点G，连结AG，QG，则AG?面PQD， 所以?AQG就是直线AB与平面PCD所成角. 不妨设AB?2，则在Rt?AGQ中，AG=2，AQ?4，

AG2?故sin?AQG?， AQ42所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为.

DGCPBQA4

法二：由（I）知，AD?面ABP，又BC∥AD， 故BC?面PAB.

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设AB?2，则A(0,0,0)，B(1,3,0)，C(1,3,1)，

zDD(0,0,2)，P(2,0,0)，

则AB?(1,3,0)，CD?(?1,?3,1)，PD?(?2,0,2). 设n?(x,y,z)是面PCD的一个法向量， ????x?3y?z?0，?n?CD?0，则?，即?，

?2x?2z?0?n?PD?0???取x=1，则n?(1,0,1).

设直线AB与平面PCD所成的角为?， |AB?n|12则sin??|cos?AB,n??|??， |AB|?|n|1?31?142所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为.

CxPByA4

20．解答：

2an?1a?ad（I）记d为{an}的公差，则对任意n?N，an?2n?1n?2，

2and即{2}为等比数列，公比q?2?0.

?由S1?2，S2?2，S3?2成等比数列，得(S2?2)?(S1?2)(S3?2)， 即[2(1?q)?2]?(2?2)[2(1?q?q)?2]，解得q?2，即d?1.

?所以an?a1?(n?1)d?n，即an?n(n?N)；

222

（II）由（I），即证：11??12?1n?n(1?)(n?N?).

n?1n下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当n?1时，不等式显然成立； ?②假设当n?k(k?N)时，不等式成立，即111k????k(1?)，

k?12kk11111则当n?k?1时，. ?????k(12?)?2112kkkk??11k?2k??1k?k2?k1?1[k(1?)?]?k?1(1?)??0， 因

k(1?kk?1k1?1kk?k?2于是1?1k?)??k?1(1??12故). ?1?k1??11?k?1(1k??2k?1(k?1)?1)， 即当n1?k?21时，不等式仍成立kk?1. 综合①②，得1?1??1?n(1?n)(n?N?).

所以1an n(a?1an?2?an)?n1?n(nn??N1?). 1a2ann?1

21．解答：

22．（I）易得直线pAB的方程为(y1?y2)y?2px?y1y2，

代入( 2,0)，得y1y2??p2??4，所以p?2；

（II）点A(y221,yy21)，PQ:y??y1(x?1)， 代入y2?4x4B(,y2)，则H(?1,y1)，直线

y2，得y224221x?(21?16)x?y1?0.

设P(x4(y21?4)3,y3)，Q(x4,y4)，则|PQ|?x3?x4?2?.

PQy2设A，B到的距离分别为d:y11，d2，由PQ1x?2y?y1?0，得

y3?yy23|1?2y1y2y1d11?(?2y2?y1)||?y1?d2?441?(?y2?2y2?y1)|y2?42?4?

1?4y1|y314?4?2y1?y|1(y21?4)2y2?4?2，

14y1y1?4因此S?1(y252|PQ|?(d1?4)APBQ1?d2)?2y3. 1设函数f(x)?(x2?4)5x6(x?0)，则f'(x)?4(x2?4)4(x2?6)x7，

可得，当x?(0,6)时，f(x)单调递减；当x?(6,??)时，f(x)单调递增，

y3|14?2y1?y2|y21?41从而当y1?6时，S取得最小值2axf(6)?ax2515． 922．解答：（I）由f?(x)?a?e?a?a(e?1)=0，解得x?0．

①若a?0，则当x?(0,??)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)内单调递增； 当x?(??,0)时，f?(x)?0，故f(x)在(??,0)内单调递减．

②若a?0，则当x?(0,??)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)内单调递增； 当x?(??,0)时，f?(x)?0，故f(x)在(??,0)内单调递减． 综上所述，f(x)在(??,0)内单调递减，在(0,??)内单调递增． （II）f(x)≥a2a(x?1)，即eax≥(x?1)2（﹡）． 212a

令x?0，得1≥，则?a≤2．

22

当x??1时，不等式（﹡）显然成立，

a恒成立． 2a令函数F(x)?2ln(x?1)?ax?ln，即F(x)≤0在(?1,??)内恒成立．

22?a(x?1)22?a?=0，得x??1??1． 由F?(x)?x?x?1a212?，+?)时，F?(x)?0， 故当x?(?1,?1)时，F(x)?0，F(x)单调递增；当x?(?1aaF(x)单调递减.

22aa因此F(x)≤F(?1)?2ln?2?a?ln?a?2?ln．

a22aa1令函数g(a)?a?2?ln，其中?a≤2，

21a?12?0，得a?1， 则g?(a)?1??aa1故当a?(,1)时，g?(a)?0，g(a)单调递减；当a?(1,2]时，g?(a)?0，g(a)单调

2当x?(?1,??)时，两边取对数，即ax≥2ln(x?1)?ln递增．

3?0，g(2)?0， 2故当?a≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0恒成立，

21a2即当?a≤2时，对任意的x?[?1,??)，均有f(x)?(x?1)成立．

22又g()?ln4?

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