§1.7 定积分的简单应用（导学案）

培才高级中学高二年级数学（理）导学案

§1.7 定积分的简单应用（导学案）

----在几何中和在物理中的应用

一、知识目标

1.掌握利用定积分求曲边图形的面积的方法

2.能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 二、复习回顾

1、求曲边梯形的思想方法是 2、定积分的几何意义是 3、微积分基本定理： 三、新知探索

（一）利用定积分求平面图形的面积

例1．计算由两条抛物线y2?x和y?x2所围成的图形的面积.（课本P56）

例2．计算由直线y?x?4，曲线y?

2x以及x轴所围图形的面积S.(课本P57)

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【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： （1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；

（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和. 变式：1、求直线y?2x?3与抛物线y?x2所围成的图形面积.

2.求由抛物线y??x2?4x?3及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积.

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（二）、定积分在物理中应用 1.求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即s??bav(t)dt

例 3.一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．（课本P58）

2．变力作功

一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到W??baF(x)dx

例4．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．(课本P59)

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五、课堂练习

1

1．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )

xA．ln2 B．ln2－1 C．1＋ln2

D．2ln2

2．如果某质点以初速度v(0)＝1，加速度a(t)＝6t作直线运动，则质点在t＝2 s时瞬时速度为( )

A．5 B．7 C．9

D．13

3.(2010陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)， 则点M取自阴影部分的概率为________．

4．一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩 到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功．

六、课后练习

1.如图，由曲线y＝x－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的 封闭图形的面积是( )

A.??0(x－1)dx B．|??0(x－1)dx|

2

2

22

22??C.?|x－1|dx D.(x－1)dx＋?0?－1?1(x2－1)dx

1

2

2

2

2．求由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为( )

A．[0，e2] B．[0,2] C．[1,2] D．[0,1]

3．一物体以速度v(t)＝3t－2t＋3做直线运动，它在t＝0和t＝3这段时间内的位移是( )

A．9 B．18 C．27

D．36

2

??10，0≤x≤2

4．一物体在力F(x)＝?(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向作直线运动，从

?3x＋4，x>2?

x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为( )

A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J

5．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所作的功为________． 6．有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．

1

7.一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在 s～6 s间的运动路程．

2