2011届卢湾区一模数学

当t?2?5时，有2x?2?5，可得x?log2(2?5)． 当t?2?5时，有2x?2?5，此方程无解．

故所求x的值为log2(2?5)． ??????4分 （2）设x1,x2?[1,??),且x1?x2，

则f(x1)?f(x2)?(2x1?2?x1a)?(2x2?2?x2a)

2x2?2x12x1?2x2x1?x2?(2?2)?x1?x2a?x1?x2(2?a) ??????7分

22x1x2xxxx由x1?x2，可得21?22，即21?22?0

由x1,x2?[1,??),x1?x2，可得x1?x2?2，故21又a?4，故21x?x2x?x2?4?0，

?a，即2x1?x2?a?0

所以f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，

故函数f(x)在[1,??)上是增函数． ??????10分

2x?2x2x?2x2（3）由f(2x)?[f(x)]2?2?2?2?2a?2a

?2?2x(a2?a)?2a?0 ??????12分

1?2x设t?2，由x?[0,1]，可得t?[,1]，

4由存在x?[0,1]使得f(2x)?[f(x)]2，

可得存在t?[,1]，使得(a2?a)t?2a?0， ??????14分 令g(t)?(a2?a)t?2a?0， 故有g()?141412(a?a)?2a?0或g(1)?(a2?a)?2a?0， 4可得?7?a?0．即所求a的取值范围是(?7,0)． ??????16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

an+bnan+bnbn-an（1）当≥0时，bn+1－an+1= -an= ；

222an+bnan+bnbn-an当<0, bn+1－an+1 = bn- = ．

222

1

所以，总有bn+1－an+1 = 2(bn-an),

又b1?0,a1?0，可得b1?a1?0，

所以数列｛bn－an｝是等比数列． ??????4分 （2）①由a1??1,b1?2，可得

∴b2?a1?b11a?b??0，故有[a2,b2]?[a1,11]， 222a1?b11?，a2?a1??1，从而a2??2b2， 22故当n=1时，a2n??2b2n成立． ??????6分 ②假设当n?k时，a2n??2b2n成立，即a2k??2b2k， 由b2k?a2k?3b2k?0，可得b2k?0，

a2k?b2k?2b2k?b2kba?b???2k?0, 故有[a2k?1,b2k?1]?[2k2k,b2k]， 2222

a2k?b2kb??2k,b2k?1?b2k, ??????9分 22b?2k?b2ka2k?1?b2k?1ba?b?2?2k?0,故有[a2k?2,b2k?2]?[a2k?1,2k?12k?1]

2242a?b2k?1b2kb∴b2k?2?2k?1, a2k?2?a2k?1??2k，故a2(k?1)??2b2(k?1) ?242∴a2k?1?∴当n?k?1时，a2n??2b2n成立．

综合①②可得对一切正整数n，都有a2n??2b2n． ??????12分 （3）假设存在a1,b1，使得数列{an}为常数数列，

1n-1

由（1）可得bn－an=(b1?a1)(2)，又an?a1，

1n-1

故bn=a1?(b1?a1)(2)， ??????14分

由an?1?an恒成立，可知 即2≤

n

1n an+bn

≥0,即a1?(b1?a1)(2)≥0恒成立， 2

a1?b1

对任意的正整数n恒成立， ??????16分 a1

a?ba?b又11是正数，故n≤log211对任意的正整数n恒成立，

a1a1a?ba?b因为log211是常数，故n≤log211不可能对任意正整数n恒成立．

a1a1故不存在a1,b1，使得数列{an}为常数数列． ??????18分