2019年浙江绍兴数学中考试卷解析

②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H， 则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形， ∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°， ∴△CHF为等腰直角三角形，

∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH， ∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1， ∴AG＝AB－BG＝6－1＝5， ∴S2＝AE?AG＝6×5＝30； （2）能；理由如下：

在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G， 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCG＝45°，

∴△CGF为等腰直角三角形，

∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG， 设AM＝x，则BM＝6－x，

∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，

22

∴S＝AM×FM＝x(11－x)＝－x+11x＝－(x－5.5)+30.25， ∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．

{分值}12

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {难度:3-中等难度} {类别:高度原创} {考点:矩形的性质}

{考点:与平行四边形有关的面积问题} {考点:二次函数与平行四边形综合}

{题目}23．（2019?绍兴T23）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长． （2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

{解析}本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识．

2

（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM

22222

＝AD－DM，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM＝AD＋DM，计算即可．

（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可． {答案}解：（1）①AM＝AD＋DM＝40，或AM＝AD－DM＝20． ②显然∠MAD不能为直角．

22222

当∠AMD为直角时，AM＝AD－DM＝30－10＝800， ∴AM＝202或（AM＝－202舍去）．

22222

当∠ADM＝90°时，AM＝AD＋DM＝30＋10＝1000， ∴AM＝1010或（AM＝－1010舍去）． 综上所述，满足条件的AM的值为202或1010． （2）如图2中，连接CD1．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30， ∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝302， ∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°， ∴CD1＝CD2＋D1D2＝306， ∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，

∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2， ∴∠BAD2＝∠CAD1，

又∵AB＝AC，AD2＝AD1， ∴△BAD2≌△CAD1（SAS）， ∴BD2＝CD1＝306． {分值}12

{章节:[1-17-1]勾股定理} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究} {考点:勾股定理}

{考点:全等三角形的判定SAS} {考点:几何综合}

2

2

{题目}24．（2019?绍兴T24）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，

点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN∶EF． （1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．

1

（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值． 2

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a∶b的值．

{解析}本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，是一道几何综合题．（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．

（2）由题意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最

25

大值＝5，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．

5

MNEFPNPF

（3）连接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出＝＝3，推出＝＝2，由△PNF∽△

PMPEPMPE

NFPN

PME，推出＝＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，接下来分两种

MEPM

情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．

{答案}解：（1）如图1中，

作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O． ∵四边形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC， ∵AB＝CB，∴EH＝MQ， ∵EF⊥MN，∴∠EON＝90°， ∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°， ∴∠FEH＝∠MNQ， ∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（ASA）， ∴MN＝EF，∴k＝MN∶EF＝1． （2）∵a∶b＝1∶2，∴b＝2a，

由题意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5a，

∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝5，

25

当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为． 5（3）连接FN，ME．

∵k＝3，MP＝EF＝3PE， MNEFPNPF

∴＝＝3，∴＝＝2， PMPEPMPE

∵∠FPN＝∠EPM，∴△PNF∽△PME，

NFPN

＝＝2，ME∥NF， MEPM

设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，

①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H． ∴

∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，FH＝23m，DH＝10m，

3aABFH

∴＝＝ ＝． bADHD5

②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝3m，

3MBHE

∴HC＝PH＋PC＝13m，∴tan∠HCE＝＝＝， BCHC13∵ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD， ∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD， CDFCaCD2MB23∴＝＝2，∴＝ ＝＝， MBMEbBDBC13综上所述，a∶b的值为323

或． 513

{分值}14

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:5-高难度} {类别:发现探究} {考点:矩形的性质}

{考点:相似三角形的性质} {考点:其他二次函数综合题} {考点:几何综合}