曹显兵 概率论讲义（打印版）

概率论(曹显兵)

（Ⅱ）Y的概率密度; （Ⅲ）概率P{X?Y?1}.

二、 二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性

（1）若X~B（m, p）, Y~B（n, p）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p）. （2）若X~P（λ1）, Y~P（λ2）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.

22（3）若X~N（?1,?12）, Y~P（?2,?2）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ N （?1??2,?12??2）.

一般地，若Xi~N（?i,?i2）, i=1, 2, …, n, 且X1，X2，…，Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+…+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为

N(?C??C,?Ciii?1i?1nn22i?i), 其中C1，…，Cn为不全为零的常数.

2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X与Y相互独立, 且

X~P(1),Y~P(2), 则P{max(X,Y)?0}?______;

P{min(X,Y)?0}?__________.

【 例6】 设X与Y相互独立, 其密度函数分别为:

?e?y,y?0,?1,0?x?1, fY(x)?? fX(x)???0,其他.?0,其他.求Z＝2X＋Y 的概率密度.

【 例7】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??

0,其它.?（I）求P?X?2Y?；

（II）求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度

fZ(z).

1201【详解】（I）P?X?2Y????f(x,y)dxdy??x?2ydy?(2?x?y)dx?2y7. 24（II）方法一： 先求Z的分布函数: FZ(z)?P(X?Y?Z)?x?y?z??f(x,y)dxdy

zz?y当z<0时, FZ(z)?0; 当0?z?1时, FZ(z)???f(x,y)dxdy??dy?D100(2?x?y)dx

?当1?1z2?z3；

3?1???f(x,y)dxdy?1??D2z?2时, FZ(z)1z?1dy?1z?y(2?x?y)dx

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?1?当z1(2?z)3； 3?2时, FZ(z)?1.

故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度

?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)=FZ?(z)??(2?z)2,1?z?2,

?0,其他.?方法二：

fZ(z)??????f(x,z?x)dx，

?2?x?(z?x),0?x?1,0?z?x?1, f(x,z?x)??0,其他.??2?z,0?x?1,x?z?1?x, ??其他.?0,当z ≤0 或z ≥ 2时, 当0?fZ(z)?0;

z0z?1时,

fZ(z)??(2?z)dx?z(2?z)；

1当1?z?2时, fZ(z)??(2?z)dx?(2?z)2；

z?1故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度

?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)??(z?2)2,1?z?2,

?0,其他.?

【例8】 设随机变量X与Y相互独立, X有密度函数f （x）, Y的分布律为 P(Y分布.

?ai)?pi,　i=1,2. 试求Z＝X＋Y 的概率

第四讲 数字特征与极限定理

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.

2．会根据随机变量X的概率分布求其函数g(X)的数学期望Eg(X)；会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数g(X,Y)的数学期望Eg(X,Y).

3．了解切比雪夫不等式.

4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）

5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）

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离散型

P?X?xi??pi, E(X)??xpiii

连续型

X~f(x), E(X)?2?????xf(x)dx

方差：D(X)?E(X?E(X))?E(X)?E(X)标准差：D(X),

2. 期望的性质：

1° E(C)?C,E(E(X))?E(X) 2° E(C1X?C2Y)?C1E(X)?C2E(Y) 3° 若X与Y独立，22??2

则E(XY)?E(X)E(Y)

224° ?E(XY)?≤E(X)E(Y)

3. 方差的性质：

1° D(C)?0,D(E(X))?0,D(D(X))?0 2°

X与Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)

23° D(C1X?C2)?C1D(X) 4° 一般有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)

?D(X)?D(Y)?2?D(X)D(Y)

5°D(X)?E(X?C)2, C?E(X)

31, 失败的概率为, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 44【例1】设试验成功的概率为

【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.

【例3】 设随机变量X的概率密度为

x?1??cos,0?x??,f(x)??2 对X独立地重复观察4次, 用Y表示观察值大于23?其他.?0,的

次数, 求Y的数学期望.

【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之

间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 Y?g(X)

离散型：P{X2

?xi}?pi ， E(Y)??g(x)piii

连续型：

X~f(x) E(Y)??????g(x)f(x)dx

2、二维的情形 Z?g(X,Y)

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离散型(X,Y)~P?X?xi,Y?yi??pijf(x,y), E(Z)?E(Z)?,

??g(x,y)pijijij

连续型(X,Y)~??????????g(x,y)f(x,y)dxdy

的数学期望与方差.

【例5】 设X与Y独立且均服从N （0，1），求Z＝

X2?Y2【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N （0，1）, 试求Z＝｜X－Y｜的数学期望与方差. 2三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：

协方差 Cov(X,Y)?E?(X?E(X)(Y?E(Y))?

Cov(X,Y)相关系数 ?XY?D(X)D(Y)

k阶原点矩 E(Xk)

k阶中心矩 E?(X?E(X))k?

2、性质：

1°

Cov(X,Y)?Cov(Y,X)

2° Cov(aX,bY)?abCov(X,Y) 3° Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)

4° |?(X,Y)|?1

5° ?(X,Y)?1?P(Y?aX?b)?1 (a＞0) ?(X,Y)??1?P(Y?aX?b)?1 (a＜0) 3、下面5个条件互为充要条件：

（1）

?(X,Y)?0

（2）Cov(X,Y)?0 （3）E(XY)?E(X)E(Y) （4）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y) 【例7】设

X1,X2,?,Xn(n?2)为独立同分布的随机变量, Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求:

（I） Yi的方差D(Yi),i?1,2,?,n；

（II） Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); （III） P{Y1?Yn?0}.

四、极限定理

1. 切比雪夫不等式

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且均服从

N(0,1), 记

X?1n?nXi,

i?1