（优辅资源）江西省九校联考高考数学一模试卷（理科） Word版含解析

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在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…② 由①②得

令，，f′（t）=，令f′（t）=0，

得t=即

，

时，λ最大．

，a=

c ?

，?tanC=2+

结合②可得b=

在△ACB中，由正弦定理得故答案为：2+

．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）令cn=an?bn，设数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn． 【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． （2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则

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由，得，解得．…

，

所以an=3+2（n﹣1）=2n+1，

（2）由（1）可知cn=（2n+1）?2n﹣1． ∴Tn=3+5×2+7×22+…+（2n+1）?2n﹣1，…①

…②

①﹣②得：﹣Tn=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）?2n=1+2+22+…+2n﹣（2n+1）?2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）?2n=（1﹣2n）?2n﹣1， ∴Tn=（2n﹣1）?2n+1．…

18．在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，平面ABCD⊥平面ABFE． （1）求证：DB⊥EC；

（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．

，

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．

【分析】（1）推导出AE⊥AB，BF⊥AB，从而BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴坐标系，利用向量法能证明DB⊥EC．

（2）求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值．

【解答】证明：（1）∵底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°， ∴AE⊥AB，BF⊥AB，

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∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB， ∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，

设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图坐标系， 0，0）C0，1）D0，1）Et，0）则B（0，，（0，，（1，，（1，∵

=0，∴DB⊥EC．…

是平面BEF的一个法向量，

解：（2）由（1）知

设=（x，y，z）是平面CEF的一个法向量， AE=AB=1，E（1，1，0），F（0，2，0）， ∴则

=（1，1，﹣1），

=（0，2，﹣1），

，取z=2， =（1，1，2），

∴cos＜＞==， ．

即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为

19．一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次．

（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率； （2）设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

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【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1，3），（2，2），（3，1），可得P（A）．

（2）X的可能取值为0，1，2，3，利用相互独立与古典概率计算公式即可得出．

【解答】解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1，3），（2，2），（3，1）， P（A）=

=

．…

（2）X的可能取值为0，1，2，3 =且P（X=0）则X的分布列为 X P 0 =，P=（X=1）=，P=（X=2）=，P=（X=3）=．…

1 2 3 E（X）=0×+1×+2×+3×=．…

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，F1、F2分别是椭圆的

．

M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，左、右焦点，且△MF1F2的周长为4+2（1）求椭圆C的方程；

B两点，（2）过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、点N满足为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

（O

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及焦点三角形的周长公式，求得a和c的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；

（2）确定四边形OANB为平行四边形，则SOANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程． 【解答】解：（1）由离心率为e==则△MF1F2的周长l=2a+2c=4+2则a=2，c=

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，①

，②

，则a+c=2+

，