新疆乌鲁木齐市2019届高三一模试卷(理科)数学试卷(含解析)

19.如图，在正三棱柱（1）证明：（2）点在

平面上，若

；

中，，，分别是，的中点.

，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）连结

，

，则为轴，

，为轴，

，从而平面平面，由此能证明平面.

（2）以为原点，的余弦值.

为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角

【详解】证明：（1）如图，连结

平面平面

，

∴平面EFN//平面

平面

，

， 平面为轴，

，，

平面平面，

，，

，则

平面

，

，

， 平面

，

，

. 为轴，

为轴，

解：（2）以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设设

，则，则

， ，

设平面

的法向量为

，，

，

，

，，

，解得，

，，

则，取，得，

同理可得平面

二面角

的法向量为

的余弦值为

.

， .

【点睛】

该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是（1）求椭圆的方程； （2）过点【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）对于（2）设直线

，当，（

时，

，即

，当

，

，，即

，再写出椭圆的方程； ，则

，代入椭圆方

作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线

；（2）见解析

过定点.

.

），设，两点的坐标分别为

过定点

，即

，

，当

程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线【详解】（1）对于椭圆的方程为（2）证明：设直线设，两点的坐标分别为联立直线得

与椭圆得

， ，解得

，当，

，（，，

时，，，即，

）， ，则

，

，，

直线

，

，

令，得 ，

直线过定点

【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 21.已知函数（1）若曲线

在点

.

处的切线与直线

平行，求的值；

（2）是否存在使得【答案】（1）【解析】 【分析】

仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

；（2）

（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，

（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出. 【详解】解：（1）

，

曲线

在点

，

解得（2）

，且

当当当故函数

，时，

，，函数，

单调递增，又，函数

.

，

，

， ，

处的切线与直线

平行， ，

单调递减，

单调递增，

，

仅有一个极小值点

当当当当当当

，设

时，时，时，

，

，

，则，此时，此时，此时

，函数

，函数，

， ， ，

，

，（）

单调递减，

单调递减，

在当当当

，，

为

时，

单调递减，无极值，

，

存在唯一的实数根，且

，，函数

，函数

单调递减，

单调递减，

一个极值点，

单调递增，

存在零点，且为

，

的极值点，

，

当综上所述

时，

有两个极值点

【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题 22.在平面直角坐标系

中，直线的参数方程为

.

（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，

建立极坐标系，圆的极坐标方程为（Ⅰ）求圆的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与圆交于，两点，点【答案】（1）【解析】

，且，求的值.

；（2）1