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= (x+l)_\\[ j 对 xW(— 1,1)都成立.
所以 y=(x+l)—士
在(一1，1)上单调递增,
令 丁=(兀+1)一士’则\=1 +^+Tp>0-
1 3
所以 ><(1 +1)-—=|.即 d遊.
3
3 因此Q的取值范围为
题型二利用导数研究不等式问题
例 2 已知 /(x) =xlnx, g(x) = —7+ox—3.
(1) 对一切xG(O, +°°), 2/(x)$g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
1 ?
(2) 证明：对一切xW(O, +8),都有1眦乍一二成立.⑴解 任意xe(O, +8),有
C C^v 3
22xlnx> —x+ax~39 则 aW21nx+x+—,
x
3
设 /?(x)=21nx+x+一(x>0),
则加(』+3］厂), ① 当xe(O,l)时，X (x)<0, h(x)单调递减， ② 当炸(1, +8)时，X (x)>0, /?(工)单调递增，
所以 〃(x)min = 〃(l) = 4. 因为对一切xe(o, +oo),
2/(x)2g(x)恒成立，
所以 aW〃(X)min = 4.
(2)证明问题等价于证明
x 2
xlnx>j—gxG(O, +8)).
.念)=x\\nx(x丘(0, + 8))的最小值是一￡,
V
当且仅当X=1时取到.
i 2 从而对一切xW(O, +°°),都有1 nv>-?——成立.
C CA
思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参 数，可以将参数看成常数直接求解.
(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题.
跟踪训练2己知函数人对=器+￡曲线y=f{x)在点(1, ./(I)处的切线方程为x+2v-3 = 0.
(1) 求a, b的值；
(2) 证明：当x>0,且xHl时，./(兀)芈
X 1
b=\\,
f (1)=_乞
I-
由于直线x+2y-3 = 0的斜率为一刁 且过点(1,1), 解得 a = 1, b= L
(2)证明 由⑴知./(x)=培+￡
所以?沧)—学r
皿一一).
X — 1
考虑函数力⑴= 21nx—「一 (x>0), Ji
所以当 xHl 时，h W<0.而加1) = 0,故当 xe(O,l)时，/z(x)>0,可得TZ7^/?(x)>0；
11 A 当xe(l, +oo)时，方
(对<0,可得了^/心)>0.
lnv
从而当 x>0,且 xHl 时，/(%)— ---- >0.
八 X— 1
题型三 利用导数研究函数零点或图像交点问题
>M
例 3 设函数/(x)=lar+—, m^R. ?A
⑴当\为自然对数的底数)时，求./(X)的极小值; (2)讨论函数g(x) =f (x)—专零点的个数
解⑴由题设，当tn=Q时，/(x)=lnx+^,
x—e
则f (x)=p,由 f (x)=0,得 x=c.
???当xe(O, e)时,f (x)<0, Xx)在(0, e)上单调递减， 当 %e(e, +00)时，广(x)>0, ./(x)在(e, +?)上单调递增，
e
???当x=e时，Xx)取得极小值/(e) = lne+-=2,
C
??J(x)的极小值为2.
(2)由题设 g(x)=f (x)—专=2—令一瓠A0)， 令 g(x)=0,得〃尸-|x3 +x(x>0).
设 0(x)=—
则 0’ = -X2+1 = -(X-l)(x+1),
当 xe(O,l)时，Q (x)>0, 0(x)在(0,1)上单调递增； 当 xe(l, +oo)时，0 (x)<0, °(x)在(1, +8)上单调递减.
.??兀=1是0(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x=l也是e(x)的最大值点.
?
(p(x)的最大值为0(1)=亍
又0(0)=0,结合y=(p(x)的图像(如图)，
可知
2
① 当加〉亍时，函数g(x)无零点；
② 当加=彳时，函数g(兀)有且只有一个零点； 2
③ 当05<亍时，函数g(x)有两个零点； ④ 当加W0时，函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述，当加〉彳时，函数g(x)无零点；
2
当加=亍或加W0时，函数g(x)有且只有一个零点; 2
当0 思维升华 用导数研究函数的零点，一方而用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理 判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合思想画草图确 定参数范围. 跟踪训练3已知函数f{x) = 21iir—x2+ax(a E R). (1) 当a=2时，求/(x)的图像在x=l处的切线方程； ⑵若函数g(x)=fix)~ax+m在亡，e］上有两个零点，求实数加的取值范围. 9 解(1)当 a=2 时，Xx)=21nx-?+2x,/ (x)=--2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率 k=f (1) =2,则切线方程为 y~\\=2(x~l),即 2x—y—1=0. (2) g(x)=21nx—x + m, 2 则 g' (x)=~-2x= TXW[2，e], ???当 g‘(x)=0 时，x=l. 当2<工<1 时，g' (x)>0； 当 l 一 2(x+l)(兀一 1) x g(C)= 77? + 2 —C2, 故g(x)在X=1处取得极大值g(l)=〃?一 1. m 2+^<0, g(c)-g(|)=4-c —2—\ 则 g(c)vg(￡)， ??倍⑴在亡，c］上的最小值是g(e). g(x)在［￡, e］上有两个零点的条件是 g(l) = 〃 解得1SW2+占, c 2—1>0, =〃2_2_-IWO, e ???实数加的取值范围是(1,2+扛 V/ 练出高分 (时间：70分钟) 搜索更多关于： 【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用 的文档
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