【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用高考专题突破一高考中的导.doc

高考专题突破一 高考中的导数应用问题

■I考点自测

快速解答自查自纠

1. (2015-课标全国II)设函数(x)是奇函数./(x)(xWR)的导函数，./(一1)=0,当x>0时，xf (x) —沧)<0,

贝ij使得.心)>0成立的x的取值范围是()

A. (—I —1)U(O,1) B. (-1,O)U(1, +oo) C. (—8, -1)U(-1,O) D. (O,1)U(1, +8)

答案

A

fix' 解析 因为,/(x)(xeR)为奇函数，/(—1) = 0,所以/(—1) = 0.当xHO时，令规力=丫, 则g(x)为偶函数，且g(l)=g(—1)=0.则当x>0时，丈(力=庠尊'=护(￥ 金)vo,故g(x) 在(0, +°°)上为减函数，在(一

8, 0)上为增函数.所以在(0, +°°)上，当0 g(l)=Oo号>oo/(x)>0；在(一8, 0)上，当 x<-l

时，g(x)0.

?A

综上，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(一8, -1)U(O,1),选A.

2. 若函数^x)=kx~\\wc在区间(1, +呵上单调递增，则￡的取值范围是() A.(—8, —2] C.[2, +8)

B.( —8, — 1] D.[l, +8)

答案D 解析 由于.广(x)=?—￡ 心)=也一lnx在区间(1, +8)上单调递增of(x)=R—￡三0在(1, + oo)上恒成立.

由于&丄,而0<丄<1,所以k2\\.

X X 即k的取值范围为[1, +-).

3. 函数,/(x)=3x2 + lnx-Zr的极值点的个数是() A.O

答案

B」 C.2 D.无数个

A

,

解析函数定义域为(0, +-),

_ . , 1 6x2—2x+l

且./ (x)=6x+~— 2= -

由于 x>0, g(x)=6x-2x+\\ 中/ = 一20<0, 所以g(x)>0恒成立，故f (x)>0恒成立，

即/(X)在定义域上单调递增，无极值点.

4. (2015-课标全国I )已知函数/(x)=a0+x+l的图像在点(1, ./⑴)处的切线过点(2,7),则a

答案1

解析 / (X)=3?X2+1, / (l)=l+3a, ./(l)=a+2.

(1, XI))处的切线方程为 j-(a+2)=(l+3a)(x-l).

将(2,7)代入切线方程，得7-(a+2)=l+3a, 解得a=l.

2 ° 2

5. ____________________ 设函数y(x)=e \，g(x)=亍，对任意兀1，疋丘(0, +°°),不等式赵护

w誓吟恒成立，则 正数k的取值范围是 . 答案［1, +°°)

解析 因为对任意X］,兀2丘(0, +°°), 不等式嚳W倍恒成立，所以缶三沢迦 k k+\\ /(X2)min 因为g(x)=亍， 所以 g‘ w=e2_x(l—x).

当 00；当 x>l 时，g‘ (x)<0, 所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减. 所以当x=l时，g(x)取到最大值，即g(x)max=g(l)=e.

X/(x)=e2x+丄 N2c(x>0).

X

当且仅当e2x=^即兀三时取等号，故./(x)min=2e.

Ji V 所以如皿皿=2=丄应有一^-3丄

力以您)斷2e 2' “驾+1 一2'

又￡>0,所以kM\\.

题型分类 对接高考深度剖析 题型一利用导数研究函数性质

例1 (2015-课标全国II )己知函数./(Q = hu+d(l-r). ⑴讨论/(X)的单调性；

(2)当有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围. 解(1)/?的定义域为(0, +-), f (x)=g—a

?

若aWO,则产(x)>0,所以/(x)在(0, +8)上单调递增.

若a>0,则当炸(0, 时，/⑴>0；当用(￡ +oo)时，f (x)<0.所以/⑴在(0, 上单 调递增，在+?>)上单调递减.

(2)由(1)知，当GWO时，./(X)在(0, +8)无最大值；

当Q>0时，.几￥)在x=+取得最大值，最大值为./(毎=1I￡+Q(1—￡)=—lno+a—1. 因此层>2a~2等价于\\na+a-i<0.

令g(a)=lM + a—1,则g(Q)在(0, +°°)上单调递增，

g(l)=0.

于是，当 0GV1 时，g(a)<0；当 a>\\ 时，g(a)>0. 因此，G的取值范围是(0,1).

思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知.兀对的单调性，可转化为不等式 f

(x)N0或.厂(x)W0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解 此类题

的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行 分析. 跟踪训练1已知QGR,函数f[x)=(—x2+ax)cx (xR, c为自然对数的底数).

(1) 当。=2时，求函数/(X)的单调递增区间；

(2) 若函数./(兀)在(-1,1)上单调递增，求Q的取值范围.

解 ⑴当。=2 时，^x)=(-x+2x)e\\ 所以 f (x)=(—2x+2)ex+(—x2+2x)eA

2= (-x2 + 2)ex.

令 f (x)>0,即(-? + 2)ev>0,因为 e\

所以一,+2>0,解得-迄

所以函数./U)的单调递增区间是(一迈，

(2)因为函数心)在(-1,1)上单调递增，

所以f (力20对兀丘(一1,1)都成立. 因为 f (JV) = (—2x+a)cx+(~x2+ax)cA =[—+ —2)x~t~a]exf 所以[~x2+(a~2)x+a]e^0 对 xW(—l,l)都成立. 因为 e>0,所以一x+(a—2)x+a^0 对 即心

X2+2X

v

2(― 1,1)都成立,

x+1

(兀+1)2 — x+1