2016-2017学年高中数学 第一章 三角函数 1.4-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象 第2课时正、余弦函数的单调性与最值

A级 基础巩固

一、选择题

1．函数y＝cos 2x在下列哪个区间上是减函数( )

?ππ?A.?－，? ?44??π?C.?0，?

2??

B.?D.?

?π，3π?

4??4??π，π? ?

?2?

π

解析：若函数y＝cos 2x递减，应用2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤＋k2π

π，k∈Z，令k＝0可得0≤x≤.

2

答案：C

2．y＝sin x－|sin x|的值域是( ) A．[－1，0] C．[－1，1]

B．[0，1] D．[－2，0]

??0，0≤sin x≤1，

解析：y＝?因此函数的值域为[－2，0]．

?2sin x，－1≤sin x<0，?

答案：D

3．下列关系式中正确的是( ) A．sin 11°

解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°

答案：C

4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A．y＝cos|x|

B．y＝cos|－x| D．y＝－sin

2

?π?C．y＝sin?x－?

2??

x?π?解析：y＝cos|x|在?0，?上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝

2???π??π?sin?x－?＝－sin?－x?＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝

2???2?

－sin 在(0，π)上是单调递减的. 2

答案：C

x?π?5．函数f(x)＝2sin?x－?，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )

3??

5π??A.?－π，－?

6??

π??5π

B.?－，－?

6??6

?π?C.?－，0?

?3??π?D.?－，0?

?6?

πππ

解析：令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

232π5

解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，

66π

又－π≤x≤0，所以－≤x≤0.

6答案：D 二、填空题

π??ππ??6．函数y＝2sin?2x＋??－≤x≤?的值域是________． 3??66??πππ2

解析：因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤π，

6633π??所以0≤sin?2x＋?≤1，

3??

π??所以y＝2sin?2x＋?的值域为[0，2]． 3??答案：[0，2]

7．已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．

解析：由题意知[f(x)]min＝f(x1)，[f(x)]max＝f(x2)， 1

所以|x1－x2|min＝×2π＝π.

2答案：π

8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．

解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0

且cos 20°>cos 40°，

所以cos 150°

9．已知函数f(x)＝2cos?

?π－x?，求f(x)的单调递增区间．

??32?

xπ

解：当2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)，

23

4π2π

即4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，

334π2π??所以函数f(x)的单调递增区间为?4kπ－，4kπ＋?

33??(k∈Z)．

10．求关于x的函数y＝asin x＋b (a，b∈R，a≠0)的最大值、最小值． 解：由x∈R知－1≤sin x≤1. 若a>0，则

当sin x＝1时，函数y＝asin x＋b取大值，最大值为a＋b. 当sin x＝－1时，函数y＝asin x＋b取最小值，最小值为b－a. 若a<0，则

当sin x＝－1时，函数y＝asin x＋b取最大值，最大值为b－a. 当sin x＝1时，函数y＝asin x＋b取最小值，最小值为a＋b.

B级 能力提升

1．函数y＝4cosx＋4cos x－2的值域是( ) A．[－2，6] C．[－2，4]

B．[－3，6] D．[－3，8]

2

2

2

解析：令cos x＝t，则t∈[－1，1]，所以y＝4t＋4t－2＝(2t＋1)－3，所以y∈[－3，6]．

答案：B

?π??ππ?2．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间?0，?上单调递增，在区间?，?上单调

3???32?

递减，则ω等于________．

π

解析：根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，

3ωπ

所以sin ＝1，

3

ωππ3所以＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.

3223又0<ω<2，所以ω＝.

23答案：

2

π??3．设函数f(x)＝asin?2x＋?＋b. 3??(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；

?π?(2)当x∈?0，?时，f(x)的值域为[1，3]，求a，b的值．

4??

解：(1)由于a>0，

πππ

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

2325ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

5ππ??所以f(x)的单调递增区间是?kπ－，kπ＋?，k∈Z.

1212??ππ5π?π?(2)当x∈?0，?时，≤2x＋≤，

4?336?π?1?则≤sin?2x＋?≤1， 3?2?由f(x)的值域为[1，3]知，

a>0，

??a＋b＝3，??a＝4，

?? ?1

?b＝－1；?

??2a＋b＝1，

a<0，??a＋b＝1，??a＝－4，或???

?b＝5.?1

a＋b＝3，??2

??a＝4，??a＝－4，

?综上得：或? ?b＝－1??b＝5.?