齐鲁教科研协作体等2017届高考冲刺模拟(五)数学(理)试卷(有答案)AlMMHA

由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA,即4?b2?c2?bc，--------------------------------9分

?b?c?所以，(b?c)2?4?3bc?4?3??，--------------------------------10分

2??即b?c?4.-----------------------------------------------------------------------------11分 又因为b?c?a?2，

所以2?b?c?4.-----------------------------------------------------------------------12分

17.（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，

2?CMD?90?，平面CMD?平面BCD，AB?平面BCD.

(Ⅰ)求证：CD?AM；

(Ⅱ)若AM?BC?2，求直线AM与平面BDM所成的角的正弦值.

【考点】空间中垂直关系、线面角的计算

【解析】证明：(Ⅰ)证明：取CD的中点O,连接OB,OM. 因为 △BCD是等边三角形，

AMBCD所以 OB?CD. ……………………………1分 因为 △CMD是等腰直角三角形，?CMD?90?，

所以OM?CD. …………………………………………2分 又平面CMD?平面BCD，平面CMDI平面BCD?CD，OM?平面CMD， 所以 OM?平面BCD. …………………………………3分 因为 AB?平面BCD, 所以 OM∥AB.

所以 O,M,A,B四点共面. …………………………4分 因为OBIOM?O,OB?平面OMAB,OM?平面OMAB, 所以 CD?平面OMAB. ……………………………… 5分 因为AM?平面OMAB,

所以 CD?AM. ………………………………………………………6分

BCO yANMDzx(Ⅱ)解法1: 在平面OMAB内作MN?AB,垂足为N,则MN?OB. 因为 △BCD是等边三角形，BC?2, 所以OB?3,CD?2. 在Rt△ANM中, AN?AM2?MN2?AM2?OB2?1.………………7分

因为 △CMD是等腰直角三角形， ?CMD?90?， 所以OM?1CD?1. 2所以AB?AN?NB?AN?OM?2. …………………………………8分 如图,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,BO所在直线为y轴, OM所在直 线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,

则M?0,0,1?,B0,?3,0,D??1,0,0?,A0,?3,2.

????uuuuruuuuruuur所以AM?0,3,?1,BM?0,3,1,BD??1,3,0.

??????设平面BDM的一个法向量为n??x,y,z?,

uuuur??n?BM?0,??3y?z?0,则?uuu即? …………………………9分 r??n?BD?0,???x?3y?0.令y?1,得x?3,z??3，则n??3,1,?3. ……………………10分

?设直线AM与平面BDM所成的角为?, 则sin??cos???,n??uuuuruuuuruuuur???n???n?2321. …………………………11分 ?72?721. ……………………12分 7所以直线AM与平面BDM所成的角的正弦值为

解法2: 在平面OMAB内作MN?AB,垂足为N,则MN?OB. 因为 △BCD是等边三角形，BC?2, 所以 OB?3,CD?2. 在Rt△ANM中, AN?AM2?MN2?AM2?OB2?1. ………………7分

?因为△CMD是等腰直角三角形，?CMD?90， 所以OM?1CD?1. 2所以AB?AN?NB?AN?OM?2.…………………………………8分 由(Ⅰ)知OM∥AB，

因为 AB?平面ABD,OM?平面ABD, 所以OM∥平面ABD.

所以 点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.

在平面BCD内作OK?BD,垂足为K, 因为AB?平面BCD，OK?平面BCD， 所以OK?AB.

因为AB?平面ABD,BD?平面ABD,ABIBD?B, 所以OK?平面ABD,且OK?OD?sin60??在Rt△MOB中,MB?OM?OB?2, 在Rt△MOD中,MD?OM?OD?2, 又因为BD?BC?2,所以BD?BM,所以△BDM为等腰三角形， 所以△BDM的面积为S?BDM2222ANBCOMKD3. …………………………9分 271?MD??. ??MD?MB2???22?2?2设点A到平面BDM的距离为h, 由VA?BDM?VM?ABD, 得?h?S?BDM?131?OK?S?ABD, 3得h?OK?S?ABDS?BDM31??2?2221. …………………………10分 ?22?772设直线AM与平面BDM所成的角为?, 则sin??h21?. ………………………………………………11分 AM721. …………………12分 7所以直线AM与平面BDM所成的角的正弦值为（注:求h?221的另法. 7由VA?BDM?VM?ABD?VO?ABD?VA?BDO?得?h?S?BDM?113??OD?OB?AB?, 3231333,得h??3S?BDM3221.） ?77218.（本小题满分12分）

某大学开设甲、乙、丙三门选修课供学生任意选修（也可不选），假设学生是否选修哪门课彼此互不影响.已知某学生只选修甲一门课的概率为0.08，选修甲和乙两门课的概率为0.12，至少选修一门的概率是0.88.

（I）求该学生选修甲、乙、丙的概率分别是多少？

（II）用?表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，求?的分布列和数学期望. 【考点】独立重复试验的概率、分布列和期望

【解析】（I）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z

?x(1?y)(1?z)?0.08? 由题意知?xy(1?z)?0.12 ………………………………4分

?1?(1?x)(1?y)(1?z)?0.88??x?0.4?解之得?y?0.6 …………………………………6分

?z?0.5?2 …………………………………………7分 （II）依题意知??0， ?P(??0)?xyz?(1?x)(1?y)(1?z)

?0.4?0.5?0.6?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.6)?0.24 ………………………9分

所以P(??2)?1?P(??0)?0.76

【或：仅仅选甲的概率为0.08，仅仅选乙概率为0.18，仅仅选丙的概率为0.12，合计为0.38，同样仅仅不选甲、仅仅不选乙、仅仅不选丙的概率和也为

0.38，故

P(??2)?0.38?0.38?0.76 …………………………………………9分】

则?的分布列为

? P 0 2 0.24 0.76 ∴?的数学期望为E??0?0.24?2?0.76?1.52 …………………………12分