人教版高中数学必修2第四章圆与方程-《4.2直线与圆的位置关系》教案(1)

得k1＝－

34，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 436.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆

有何种位置关系?

分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r的距离为d=

2

r22x0?2y0.

22∵P（x0，y0）在圆内，∴x0r，故直线和圆相离. 培养能力

7.方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.

2(a?1)2224(a2?2a?2)解：（1）∵a≠0时，方程为［x－］+（y+）=，

aaa2由于a2－2a+2＞0恒成立，

∴a≠0且a∈R时方程表示圆.

a2?2a?21211（2）r=4·=4［2(－)+］，

22aa22

∴a=2时，rmin2=2.

此时圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=2. 8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程. 解：设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3D－E=－36， 2D+4E－F=20， 8D+6E+F=－100. D=－11， ∴ E=3，

F=－30.

∴圆的方程为x2+y2－11x+3y－30=0.

（理）已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）. （1）求线段PQ中点的轨迹方程；

（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程. 解：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x－4，2y），代入圆的方程得（x－2）2+y2=1. （2）设R（x，y），由设P（m，n），则有 m=

|PR||OP|1==， |RQ||OQ|23x?4， 25

n=

3y， 242216）+y=（y≠0）. 39代入x2+y2=4中，得 （x－

探究创新

9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.

解：设点P的坐标为（x，y），

|PM|由题设有=2，

|PN|即(x?1)2?y2=2·(x?1)2?y2， 整理得x2+y2－6x+1=0. ①

因为点N到PM的距离为1，|MN|=2， 所以∠PMN=30°，直线PM的斜率为±直线PM的方程为y=±②

将②代入①整理得x2－4x+1=0. 解得x1=2+3，x2=2－3.

代入②得点P的坐标为（2+3，1+3）或（2－3，－1+3）；（2+3，－1－3）或（2－3，1－3）.

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1. ●思悟小结

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化. ●教师下载中心 教学点睛

1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.

2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.

3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.

4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.

3. 3

3（x+1）. 36

拓展题例

【例1】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.

2a2a24?3a解：将圆的方程配方得（x+）+（y+1）=，圆心C的坐标为（－，－1），

4224?3a2半径r=，

4条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即

a24?3a22(1?)?(2?1)＞.

24化简得a2+a+9＞0. 4－3a2＞0， 由 2

a+a+9＞0，

2323 －＜a＜，

33解之得

a∈R.

∴－

2323＜a＜. 332323，）. 33【例2】 已知⊙O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹.

剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.

解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径. 当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2； 当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2. 综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2. 将此关系式坐标化，得

故a的取值范围是（－

|x2?y2－(x?4)2?y2|=2.

y2化简可得（x－2）－=1.

3解法二：由解法一可得动点P满足几何关系 ||OP|－|PA||=2，

即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点（2，0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长

2

y2b=c?a=3，所以轨迹方程为（x－2）－=1.

3222

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