人教版高中数学必修2第四章圆与方程-《4.2直线与圆的位置关系》教案(1)

直线与圆的位置关系

●知识梳理 直线和圆

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较. ①d＜R，直线和圆相交. ②d=R，直线和圆相切. ③d＞R，直线和圆相离.

2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基

1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线2（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为

A.相切 B.相交

C.相切或相离 D.相交或相切

1?m，圆半径为m. 2111?m∵d－r=－m=（m－2m+1）=（m－1）2≥0，

222解析：圆心到直线的距离为d=

∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

2.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于 A.6 B.

52 C.1 D.5 2222，半径为2，弦长为2(2)2?()=6. 22解析：圆心到直线的距离为答案：A

3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x2+y2－4x=0在点P（1，3）处的切线方程为 A.x+3y－2=0 B.x+3y－4=0 C.x－3y+4=0 D.x－3y+2=0 解法一：

x2+y2－4x=0

1

y=kx－k+3

?x2－4x+（kx－k+3）2=0.

该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=∴y－3=

3. 33（x－1），即x－3y+2=0. 3解法二：∵点（1，3）在圆x2+y2－4x=0上， ∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直. 又∵圆心为（2，0），∴解得k=

0?3·k=－1. 2?13，∴切线方程为x－3y+2=0. 3答案：D

4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.

解析：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2）， ∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x－y－7=0上，

y=－3，

∴联立 解得x=2，

2x－y－7=0.

∴圆心为（2，－3），

半径r=|AC|=22?[?3?(?4)]2=5. ∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5. 答案：（x－2）2+（y+3）2=5

5.若直线y=x+k与曲线x=1?y2恰有一个公共点，则k的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k≤1或k=－2

●典例剖析

【例1】 已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

剖析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ=－1，问题可解.

解：将x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0. 设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件

y1+y2=4，y1y2=

12?m. 5∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3－2y1，x2=3－2y2， ∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2.

2

∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－

15，3），半径r=. 22评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意

这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.

【例2】 求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.

剖析：根据已知，可通过解方程组 （x+3）2+y2=13，

得圆上两点，

x2+（y+3）2=37

由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；

也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程.

解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点， 所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.

9(1??2)33?224?28?展开、配方、整理，得（x+）+（y+）=+. 21??1??1??(1??)33?，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7. 1??1??1789故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2= .

222圆心为（－

评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，

那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.

特别提示

在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程. 【例3】 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 2x+y－7=0， x=3， ∵m∈R，∴ x+y－4=0， 得 y=1，

即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. （2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－

1， 2∴l的方程为2x－y－5=0.

评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

3

求直线过定点，你还有别的办法吗？

●闯关训练 夯实基础

1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］ 解析：数形结合法解. 答案：A

2.（2003年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在

解析：由题意得角形为直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx－的左侧，则m的值为____________.

|a?0?b?0?c|a2?b2=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三

1=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴4m22m2?1m解析：圆方程配方得（x+）+y=，圆心为（－，0）.

422m由条件知－<0，即m>0.

2m2?1又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）=，即m2=3，∴m=3.

4答案：3

4.（2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25. 知圆心为（3，1），r=5.

由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d=

|3?2|5=5.

可得

1弦长为25，弦长为45. 2答案：45

5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1. 设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可

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