2018年高考数学课标通用理科一轮复习真题演练：第六章 数列6-1 含解析 精品

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由递推公式求通项的常用方法和技巧

递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．

类型1 an＋1＝an＋f(n)

把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．

[典例1] 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．

[思路分析]

[解] 因为a1＝2，an＋1－an＝n＋1， 所以an－an－1＝(n－1)＋1，

an－1－an－2＝(n－2)＋1，an－2－an－3＝(n－3)＋1， …

a2－a1＝1＋1， 由已知，a1＝2＝1＋1， 将以上各式相加，得

an＝[(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]＋n＋1

?n－1?[?n－1?＋1]＝＋n＋1 2n?n－1?

＝2＋n＋1 n?n＋1?＝2＋1. 类型2 an＋1＝f(n)an

an＋1

把原递推公式转化为a＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求

n

解．

2n

[典例2] 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝·a，求数列{an}

n＋1n

的通项公式．

[思路分析]

an＋1nn

[解] 由an＋1＝·a，得a＝.

n＋1nn＋1n

n－1n－2anan－1a2122

当n≥2，n∈N时，an＝··…··a＝··…·a11nn－12·3＝3n，an－1an－2

*

2即an＝3n.

222

又当n＝1时，＝＝a1，故an＝3n. 3×13

类型3 an＋1＝pan＋q[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0] 先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t

q＝，再利用换元法转化为等比数列求解． 1－p

[典例3] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．

[思路分析]

[解] 设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)， 即an＋1＝2an－t，解得t＝－3. 故an＋1＋3＝2(an＋3)．

bn＋1an＋1＋3

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且b＝＝2.

an＋3n所以{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列． 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1, 即an＝2n＋1－3.

类型4 an＋1＝pan＋qn[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0] (1)一般地，要先在递推公式两边同除以q

n＋1

an＋1pan1，得n＋1＝q·qn＋q，q

an??p1

??其中b＝引入辅助数列{bn}得bn＋1＝q·bn＋q，再用待定系数法解n

qn?，?决；

(2)也可在原递推公式两边同除以p

n＋1

an＋1an1?q?n

，得n＋1＝pn＋p?p?，引入

??p

an??1?q?

辅助数列{bn}?其中bn＝pn?，得bn＋1－bn＝p?p?n，再利用累加法(逐差相

?

?

??

加法)求解．

?1?n＋151

[典例4] 已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝3an＋?2?，求数列{an}

??

的通项公式．

[思路分析]

?1?n＋11

[解] 解法一：将an＋1＝3an＋?2?两边分别乘以2n＋1，得2n＋1an

??

2n

＋1＝(2an)＋1. 3

?2?

令bn＝2an，则bn＋1＝?3?bn＋1，

??

n

2

根据待定系数法，得bn＋1－3＝3(bn－3)．

542

所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×6－3＝－3，公比为3的等比数列．

4?2?n－1??， 所以bn－3＝－3·?3?

?2?n??. 即bn＝3－2·?3?