人教A版2020届高考数学二轮复习：数列(基础)

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当n=1时,T1=1;

当n≥2时,Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2,①3Tn=3+4?31+6?32+…+2n?3n﹣1,② ①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2(3+3+…+312n﹣2

)﹣2n?3

n﹣1

=2+2?

3(1?3???2)

?2???3???1=

1?3

﹣1+(1﹣2n)?3n﹣1 ∴Tn=11

2+(n﹣2)3n﹣1(n≥2).

又∵Tn=a1=1也满足上式,∴Tn=11

n﹣12+(n﹣2)3(n∈N*) 4.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.

(1)设bn=??

??

2???1.证明：数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

【解答】解：由an+1=2an+2n.两边同除以2n得????+12=??

??

??2???1+1

∴

????+12?????

??

2???1=1,即bn+1﹣bn=1

∴{bn}以1为首项,1为公差的等差数列

(2)由(1)得??

??

2???1=1+(???1)×1=??

∴an=n?2n﹣1

Sn=20+2×21+3×22+…+n?2n﹣1 2Sn=21+2×22+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n ∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n?2n =1?2??

1?2????2??=(1???)?2???1 ∴Sn=(n﹣1)?2n+1

5.数列{an}的通项an=n2(cos2????

????

3﹣sin23),其前n项和为Sn.

千里之行 始于足下

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(1)求Sn;

(2)bn=??

3??

???4??,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解答】解：(1)由于??????2

????????3

???????2

3

=??????

2????3

,????=??2???????

2????3

故S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3k﹣2+a3k﹣1+a3k) =(?

12+222

42+522

2+3)+(?

2

+6)+?+[?

(3???2)2+(3???1)2

2

+(3??)2]

=13

3118???5??(4+9??)

2+

2

+?+2

=

2

??3???1=??3?????3??=

??(4?9??)

2

, ????(4?9??)

13???2=??3???1???3???1=

2

+

(3???1)2

2

=2???=?

3???23

?1

6,

???1

3?6

??=3???2故????={

(??+1)(1?3??)

6

??=3???1(k∈N*) ??(3??+4)

6

??=3??(2)????9??+4??=3??

???4??=

2?4??,

??11322

9??+4??=2[4+42+?+4??],

4????=1

229??+4

2[13+

4

+?+4???1],

99两式相减得3??1

9

9

9??+4??=2[13+4+?+4???1?4??

]=1

4?4??2[13+

1?1?

9??+444??

]=8?

1

9??

22???3?22??+1, 故??8

1

3??

??=3?3?22???3?22??+1. 6.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(4﹣an)qn﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.

千里之行 始于足下

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【解答】解：(1)设{an}的公差为d, 由已知得{

3??1+3??=6

8??1+28??=?4

解得a1=3,d=﹣1

故an=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n; (2)由(1)的解答得,bn=n?qn﹣1,于是 Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?qn﹣1. 若q≠1,将上式两边同乘以q,得 qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?qn. 将上面两式相减得到

(q﹣1)Sn=nqn﹣(1+q+q2+…+qn﹣1) =nq﹣???1 于是Sn=

??????+1?(??+1)????+1

(???1)2

n

?????1

??(??+1)2

若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=

??????+1?(??+1)????+1

所以,Sn={

(???1)2??(??+1)2

(??≠1)

.

(??=1)

7.设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线??=

√3??相切,对每一个正整数3

n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn

的半径,已知{rn}为递增数列. (1)证明：{rn}为等比数列;

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(2)设r1=1,求数列{??

????

}的前n项和.

【解答】解：(1)将直线y=√3,则有tanθ=√31

3x的倾斜角记为3,sinθ=2, 设Cn的圆心为(λn,0),则由题意得知

????1

????

=2

,得λn=2rn;同理

λn+1=2rn+1,从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,将λn=2rn代入, 解得rn+1=3rn

故|rn|为公比q=3的等比数列.

(2)由于r1=1,q=3,故rn=3n﹣1,从而??

????

=???31???,

记??12??

??=??1

+??2

++????

, 则有Sn=1+2?3﹣1+3?3﹣2+…+n?31﹣n

????

3=1?3?1+2?3?2+?+(???1)?31???+???3??? ①﹣②,得

2?????13

=1+3+3?2+?+31???????3???

=

1?3???

32????3???=?(??+3

322)?3???,

∴??=9

1

3

??1???

4?2(??+2)?3

=

9?(2??+3)?31???

4

8. 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2－5x＋6＝0的根. (1)求{an}的通项公式;

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