人教A版2020届高考数学二轮复习：数列(基础)

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1＋＝n＋1[(2n1＋3)－3]＝1, 2a1＋3－3＋3∴数列{bn}是首项为2＝2＝0,公差为1的等差数列. 例7. 数列?an?满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an,证明?bn?是等差数列; (2)求?an?的通项公式.

【解析】 ①由an＋2＝2an＋1－an＋2得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2, 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1,

所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. ②由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1, 即an＋1－an＝2n－1.

于是? (ak＋1－ak)＝? (2k－1),

k＝1

k＝1

n

n

所以an＋1－a1＝n2,即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1,所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2. 核心考点二:等差、等比数列的交汇问题

例1. 已知首项为

（n?N*），且S3?a3，S5?a5，S4?a4成等差数列，求数列?an?的通项公式。

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3的等比数列?an?不是递减数列，其前n项和为Sn2千里之行 始于足下

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解析 设等比数列?an?的公比为q，因为S3?a3，S5?a5，S4?a4成

1等差数列，所以2（S5?a5）=S3?a3+S4?a4，即4a5?a3，于是q?，431又数列?an?不是递减数列，a1?，所以q??，故数列?an?的通项公式22313an?g(?)n?1?(?1)n?1n 2222例2.在等差数列?an?中，公差d?0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，

a3，ak1，ak2?，akn，?成等比数列，求数列?kn?的通项kn

2?a1a4，所以(a1?d)2?a1(a1?3d)，由d?0可得 解析 依题意可得a2a1?d，则an?nd，由已知得d,3d,k1d,k2d,?,knd,?是等比数列。 因为d?0所以1,3,k1,k2,?,kn,?成等比数列，首项为1，公比为3， 由此k1?9，所以kn?9?3n?1?3n?1（n?N*），故数列?kn?的通项为kn?3n?1 例3. 设a1,a2,?,an是各项均不为零的n(n?4)项等差数列，且公差d?0.若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。 （1）①当n?4时，求

a1的数值； ②求n的所有可能值. d（2）求证：对于给定的正整数n(n?4)，存在一个各项及公差均不为0的等差数列b1,b2,?,bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。 解析 （1）①依题意，等差数列为a1,a2,a3,a4，假设要删去a1或a4，当删去a1时，a2,a3,a4既是等差数列又是等比数列，故d?0，与题意不合；当删除a4时，a1,a2,a3既是等差数列又是等比数列，故d?0，与题意不合；因此删去的项只能是a2或a3若删去a2，则由a1,a3,a4成等比数列，得a1＝?4．此时数列d为?4d,?3d,?2d,?d，满足题设．若删去a3，则a1,a2,a4成等比数列，得(a1?2d)2?a1(a1?3d)．因d?0，故由上式得a1??4d，即 (a1?d)2?a1(a1?3d)． 因d?0，故由上 式得a1?d，即 d,2d,3d,4d 满足题设． a1＝1．此时数列为d6

千里之行 始于足下

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综上可知a1的值为?4或1． d②一个“基本事实”：一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列是非零常数数列。当n≥6时，则从满足题设的数列a1,a2,?,an中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故知，数列a1,a2,?,an的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数n?5． 又因题设n?4，故n?4或n?5．

当n?4时，由（1）中的讨论知存在满足题设的数列．

当n?5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故(a1?d)2?a1(a1?3d)且

(a1?3d)2?(a1?d)(a1?4d)．分别化简上述两个等式，得a1?d和a1??5d，故

d?0．矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列．综上可知，n只能为4．

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为k的n项等差数列

b1,b1?k,?b1?(n?1)k，其中三项b1?m1k，b1?m2k，b1?m3k成等比数列，这里0?m1?m2?m3?n?1，则有(b1?m2k)2?(b1?m1k)(b1?m3k)，整理得

2(m2?m1m3)k2?(m1?m3?2m2)b1k，由b1k?0得：m1?m3?2m2?0且2m2?m1m3?0

2m2?m1m3b1或者当m1?m3?2m2?0且m?m1m3?0时，? km1?m3?2m2222?m1m3?0，则m1?m2?m3，矛盾。 若m1?m3?2m2?0且m22m2?m1m3b1b若?，等式右边为有理数，当1为无理数时就产生矛盾。因kkm1?m3?2m2此，只要b1为无理数，?bn?中任意三项不构成等比数列。 k例4.在等差数列?an?和等比数列?bn?中, a1?b1?1,b4?8 , ?an?的前10项和

S10?55.

(1)求an和bn;

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千里之行 始于足下

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(2)现分别从?an?和?bn?的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.

【解答】解：(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q. 由题得：S10=10+10×932

d=55;b4=q=8;

解得：d=1,q=2. 所以：an=n,bn=2n﹣1..

(2)分别从从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个：(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4). 两项的值相等的有(1,1),(2,2). ∴这两项的值相等的概率：2

9.

例5.等比数列?an?的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列. ①求?an?的公比q;②若a1－a3＝3,求Sn. 【解析】 (1)2,2n＋1－2 (2)①∵S1,S3,S2成等差数列, ∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2). 由于aq＝－11≠0,故2q2＋q＝0,又q≠0,从而2. ②由已知可得a11－a1(－2)2＝3,故a1＝4, 4???1??从而Sn＝?1－??－2??n??8??1－??－11－?＝?2??n??. ?－13????2???千里之行 始于足下

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