人教A版2020届高考数学二轮复习：数列(基础)

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第一章:等差数列与等比数列的综合 核心考点一:等差、等比数列的判断与证明 方法总结

判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下： （1）定义法：对于n?2的任意正整数，都有aan?an?1（或na）为同一常数n?1（用于证明） （2）通项公式法：

①若an?a1?(n?1)d?nd?(a1?d)，则数列?an?为等差数列（用于判断）； ②若an?an?11q?a1q?qn?c?qn，则数列?an?为等比数列（用于判断）； （3）中项公式法：

①若2an?an?1?an?1（n?2,n?N*），则数列?an?为等差数列（用于证明）；②若a2n?an?1an?1（n?2,n?N*），则数列?an?为等比数列（用于证明）；

例1.(1)设?ann?为等差数列，证明：数列?ca?（c?0,c?1）是等比数列。 (2)设?an?为正项等比数列，证明：数列?logcan?（c?0,c?1）是等差数列。 解析（1）?a*n?为等差数列，则an?an?1?d（n?2,n?N，d为常数），令banban?1cn?1?an?1?ancan?c?cd?0是常数，所以数列?cann?c，则b?是等比数列。 n（2）?aan?1n?为正项等比数列，则a?q（q?0）令bn?logcan，则nbn?1?bn?logcan?1?logcan?logcq是常数，所以数列?logcan?是等差数列。 例2. 在数列?an?中，Sn?1?4an?2且a1?1

千里之行 始于足下

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（1）设bn?an?1?2an，求证：数列?bn?是等比数列 （2）设cn?an，求证：数列?cn?是等差数列 22解析 （1）Sn?1?4an?2①

Sn?4an?1?2(n?2,n?N*)②

由①-②得an?1?4an?4an?1，所以an?1?2an?2an?4an?1?2(an?2an?1).当n?1时，

S2?4a1?2?6?a1?a2?a2?5，所以a2?2a1?5?2?3?0,

所以an?1?2anb?2，令bn?an?1?2an，所以n?2(n?2,n?N*)，故数列?bn?是an?2an?1bn?1等比数列. （2）因为数列?bn?是等比数列，

b1?a2?2a1?(S2?S1)?2a?S3?3a1?3.

所以bn?b1?qn?1?(a2?2a1)?2n?1?3?2n?1?an?1?2an， 则an?1?2an?3?2n?1，所以令cn?an?1an3?n?. n?1224an3S?0，又，故， c?c?nn?1nn24因此数列?cn?是等差数列.

例3. 数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，an?1??S?证明：数列?n?是等比数列。

?n?n?2Sn（n?2,3,4,?），n解析 由an?1?所以Sn?1?(n?2n?2Sn得Sn?1?Sn?Sn， nnSSn?22n?2?1)Sn?Sn，所以n?1?2?n n?1nnn?S?又S1?a1?1?0，因此数列?n?是等比数列. ?n?2

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例4.已知数列?an?满足a1?1，a2?3，an?2?3an?1?2an（n?N*）. (1)证明：数列?an?1?an?为等比数列。 (2)求数列?an?的通项公式。

(3)若数列?bn?满足4b?1?4b?1?4b?1???4b123n?1?(an?1)bn（n?N*），证明：数

列?bn?是等差数列。

解析 （1）因为an?2?3an?1?2an，所以an?2?an?1?2(an?1?an)，即

an?2?an?1?2，（n?N*），又a2?a1?2，故数列?an?1?an?是首项为2，公比an?1?an为2的等比数列。 （2）由（1）得an?1?an?2n（n?N*）

故a2?a1?21，a3?a2?22，a4?a3?23，?，an?an?1?2n?1（n?2）

2(1?2n?1)?2n?2，所以an?2n?1（n?2）n?1时也成立，叠加得到an?a1?1?2所以an?2n?1（n?N*） （3）由（2）可知4b?1?4b?1?4b?1???4b123n?1?(an?1)bn，

即4(b1?b2???bn?n)?2nbn，故2(b1?b2???bn)?2n?nbn 设Sn为数列?bn?的前n项和，则2Sn?2n?nbn ①，

2Sn?1?2(n?1)?(n?1)bn?1 ②，

两式相减得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn即nbn?2?(n?1)bn?1 ③ 则有(n?1)bn?1?2?(n?2)bn ④（n?2）④?③得

2(n?1)bn?(n?1)bn?1?(n?1)bn?1，

即2bn?bn?1?bn?1（n?2）故数列?bn?是等差数列。

例5.设?an?是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

(1)求数列?an?的公比；

(2)证明：对任意k?N*,Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列．

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解析 （1）依题意，设公比不为1的等比数列的公比为q，由a5,a3,a4成等差数列，得2a3?a4?a5，所以2a3?a23q?a3q，得2?q2?q，解得q?1（舍），

q??2.

（2）要证明对任意k?N*，Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列，只需证明

2Sk?Sk?1?Sk?2(k?N*).

因为Sk?2?Sk?1?2Sk?(Sk?2?Sk)?(Sk?1?Sk)?ak?`1?ak?2?ak?1

?2ak?`1?(?2)ak?`1?0.

所以对任意k?N*，Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列. 或利用求和公式展开.

a2SS1(1?qk?)ak?11(1?q)2a1(1?qk)k?2?Sk?1?2k?1?q?1?q?1?q ?a11(2?qk??qk?2?2?2qk)a1qk(2?q?q21?q?)1?q?0， 因此对任意k?N*，Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列.

例6.在数列?an?中,a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3 (n?2,且n?N*). (1)求a2，a3的值; (2)设ban?3n＝2n(n?N*),证明：?bn?是等差数列. 【解析】 (1)∵a1＝－3,an＝2an－1＋2n＋3(n≥2). ∴a2＝2a1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1. a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n∈N*,

∵ban＋1＋3an＋31n＋1－bn＝2n＋1－2n＝2n＋1[(an＋1－2an)－3] 千里之行 始于足下

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