高中数学 第三章 三角恒等变换综合检测题 新人教A版

??cosα＋cosβ＝0，所以?

?sinα＋sinβ＝1，?

由此得，cosα＝cos(π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π，

又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得， 1

sinα＝sinβ＝，而α>β，

25ππ

所以α＝，β＝.

66

22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.

(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． [解析] (1)设S为十字形面积，

ππ22

则S＝2xy－x＝2sinθcosθ－cosθ(<θ<)．

42112

(2)S＝2sinθcosθ－cosθ＝sin2θ－cos2θ－

22＝

52551

×(sin2θ－cos2θ)－ 2552

511sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tanφ＝) 222

＝

π

当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大．

2πφ51

即当θ＝＋时，十字形取得最大面积，Smax＝－.

4222

[点评] (1)求三角函数最值问题，除了利用三角函数的有界性外，配方法、换元法，函数单调性法都是常用方法，但应用时要注意三角函数的取值范围．

(2)函数最值和实际应用题是高考的热点，题型一般是选择、填空题，但中档难度的解答题也不容忽视．