大学物理课后答案（上）

大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））

???FN??3mgcosα负号表示F′N 与en 反向．由此可得小球对圆轨道的作用力为 FN

2-19 分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力FN 和环与物体之间的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小与正压力FN′成正比,且FN与FN′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程．

解 (1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有

mv2dvFN?man? Ff??mat??

Rdt由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得

v2dvμ?? Rdt取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有

?t0dt??Rv0Rvdvv? 2?v0R?v0μtμv(2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为

t??R μv0物体在这段时间内所经过的路程

s??vdt??0t?t?0Rv0Rdt s?ln2

R?v0μtμ2-20 分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．

解 (1) 物体在空中受重力mg和空气阻力Fr ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得

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?mg?kv?mdv (1) dtdvm?kv0? t?ln??1???6.11s mg?kvk?mg??根据始末条件对上式积分,有

?t0dt??m?vv0v(2) 利用

dvdv?v的关系代入式(1),可得 dtdy?mg?kv?mvdv dy分离变量后积分

?y0dy???v00?m?mg?kv0?mvdv? 故 y???ln?1??v0??183m ??mg?kvk?k?mg??2vv讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式t?0和y?0分别算

g2g得t≈6.12ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些．

2-21 分析 由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．

解 分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有

?mg?kmv2?mdvvdv?m dtdy依据初始条件对上式积分,有

?y0dy???0v01?g?kv2?vdv? ln? y??22??g?kv2k?g?kv0?物体到达最高处时, v ＝0,故有

2?1?g?kv0?h?ymax?ln? ?2k?g??(2) 物体下落过程中,有

?mg?kmv2?mvdv 对上式积分,有 dy?1/2?y0dy???0v0?kv2?vdv 则 v?v0??1?g??g?kv2??第-26-页 共-136-页

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2-22 分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．

解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有

2

F?kv2?mdv (1) dt当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得

k＝F/vm2 (2)

由式(1)和式(2)可得

?v2?dv? (3) F?1??m?v2?dtm??根据始末条件对式(3)积分,有

1m2vm?v2?mvm??dt?1?dv 则 t?ln3 2??0F?0?v2Fm??t?1又因式(3)中mxdvmvdv,再利用始末条件对式(3)积分,有 ?dtdx?1122mvm4mvmm2vm?v2??0dx?F?0??1?v2??dv 则 x?2Fln3?0.144F

m??2-23 分析 如图所示,飞机触地后滑行期间受到5 个力作用,其中F1为空气阻力, F2 为

空气升力, F3 为跑道作用于飞机的摩擦力,很显然飞机是在合外力为变力的情况下作减速运动,列出牛顿第二定律方程后,用运动学第二类问题的相关规律解题．由于作用于飞机的合外力为速度v的函数,所求的又是飞机滑行距离x,因此比较简便方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量dt 进行代换,将dt 用

dx代替,得到一个有关v 和x 的微分方程,分离变量v后再作积分．

解 取飞机滑行方向为x 的正方向,着陆点为坐标原点,如图所示,根据牛顿第二定律有

FN?k1v?mdv (1) dtFN?k2v2?mg?0 (2)

2将式(2)代入式(1),并整理得

?μmg??k1?μk2?v2?m分离变量并积分,有

dvdv?mv dtdx?vv0?mvdv??dx 2?0μmg??k1?μk2?v得飞机滑行距离

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?μmg??k1?μk2?v2?m (3) x?ln??2?k1?μk2??μmg?考虑飞机着陆瞬间有FN＝0 和v＝v0 ,应有kv0 ＝mg,将其代入(3)式,可得飞机滑行距离x 的另一表达式

2?k1?k2v0? x?ln???2g?k1?μk2??μk2?2

2

讨论 如飞机着陆速度v0＝144 km·h,μ＝0.1,升阻比离x ＝560 m,设计飞机跑道长度时应参照上述计算结果．

-1

k1

?5,可算得飞机的滑行距k2

2-24 分析 如同习题2 -5 分析中指出的那样,可对木箱加上惯性力F0 后,以车厢为参考系进行求解,如图所示,此时木箱在水平方向受到惯性力和摩擦力作用,图中a′为木箱相对车厢的加速度．

解 由牛顿第二定律和相关运动学规律有

F0 -Fｆ＝ma -μmg＝ma′ (1) v′ 2 ＝2a′L (2)

联立解(1)(2)两式并代入题给数据,得木箱撞上车厢挡板时的速度为

v??2?a?μg?L?2.9m?s?2

2-25 分析 如以加速运动的电梯为参考系,则为非惯性系．在非惯性系中应用牛顿定律时必须引入惯性力．在通常受力分析的基础上,加以惯性力后,即可列出牛顿运动方程来．

解 取如图(b)所示的坐标,以电梯为参考系,分别对物体A、B 作受力分析,其中F1 ＝

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