大学物理课后答案（上）

大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））

在物块上滑的过程中,若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为v2 ,并取A 点的重力势能为零．由系统的功能原理可得

?μ?m?m??gcosαh sinα?1122 (2) ?m?m??v2??m?m??gh??m?m??v1222由式(1)、(2)可得

?m?v2??v0cosα??2gh?μcotα?1?

?m?m??3-34 分析 由于桌面无摩擦,容器可以在水平桌面上滑动,当小球沿容器内壁下滑时,容器在桌面上也要发生移动．将小球与容器视为系统,该系统在运动过程中沿水平桌面方向不受外力作用,系统在该方向上的动量守恒；若将小球、容器与地球视为系统,因系统无外力作用,而内力中重力是保守力,而支持力不作功,系统的机械能守恒．由两个守恒定律可解得小球和容器在惯性系中的速度．由于相对运动的存在,小球相对容器运动的轨迹是圆,而相对桌面运动的轨迹就不再是圆了,因此,在运用曲线运动中的法向动力学方程求解小球受力时,必须注意参考系的选择．若取容器为参考系(非惯性系),小球在此参考系中的轨迹仍是容器圆弧,其法向加速度可由此刻的速度(相对于容器速度)求得．在分析小球受力时,除重力和支持力外,还必须计及它所受的惯性力．小球位于容器的底部这一特殊位置时,容器的加速度为零,惯性力也为零．这样,由法向动力学方程求解小球所受的支持力就很容易了．若仍取地面为参考系(惯性系),虽然无需考虑惯性力,但是因小球的轨迹方程比较复杂,其曲率半径及法向加速度难以确定,使求解较为困难．

解 根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得

mvm?m?vm??0 (1)

1212mvv?m?vm??mgR (2) 22式中vm 、vm′分别表示小球、容器相对桌面的速度．由式(1)、(2)可得小球到达容器底部时小球、容器的速度大小分别为

vm?2m?gR

m?m?m2m?gR

??mm?mvm??由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂,为此,可改为以容器为参考系(非惯性系)．在容器底部时,小球相对容器的运动速度为

?m?m??vm??vm???vm???vm?vm????2gR (3)

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在容器底部,小球所受惯性力为零,其法向运动方程为

2mv?mFN?mg? (4)

R由式(3)、(4)可得小球此时所受到的支持力为

2m??FN?mg?3??

m???3-35 分析 (1) 桩依靠自重下沉是利用重力势能的减少来克服摩擦力作功,可根据功能原理求解．(2)打桩过程可分为三个阶段．1.锤自由下落的过程．在此过程中,锤与地球系统的势能转化为锤的动能,满足机械能守恒定律．2.碰撞的过程．在这过程中,由于撞击力远大于重力和泥土的阻力,锤与桩这一系统满足动量守恒定律．由于碰撞是完全非弹性的,碰撞后桩和锤以共同速度运动．3.桩下沉的过程．在这过程中,桩和锤的动能和系统的势能将用于克服摩擦力作功,可应用系统的功能原理．根据以上分析列出相应方程式即可解．(3)仍为打桩过程．所不同的是,在此过程中,碰撞是非弹性的,因此,桩获得的速度还需根据锤反弹的高度求出．桩下沉时,仍是以桩的动能和势能减少来克服摩擦力作功的．

解 (1) 在锤击桩之前,由于桩的自重而下沉,这时,取桩和地球为系统,根据系统的功能原理,有

h1m?gh1??4ShKdh (1)

0桩下沉的距离为

h1?m?g?8.88m

2SK(2) 锤从1 m 高处落下,其末速率为v0?2gh．由于锤与桩碰撞是完全非弹性的,锤

与桩碰撞后将有共同的速率,按动量守恒定律,有

mv0??m??m?v (2)

随后桩下沉的过程中,根据系统的功能原理,有

?h1?h2h1-4dSKhv0??1?m??m?v2??m??m?gh2 (3) 2由式(2)、(3)可解得桩下沉的距离为

h2 ＝0.2 m

(3) 当桩已下沉35 m 时,再一次锤桩,由于此时的碰撞是一般非弹性的,锤碰撞后的速率可由上抛运动规律得v1?2gh?,再根据动量守恒定律,有

mv0??m2gh??m?v? (4)

随后,桩在下沉过程中,再一次应用系统的功能原理,得

h3?01-4S?35m?h?dh??m?gh3?m?v?2 (5)

2由式(4)、(5)可得桩再一次下沉的距离

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h3 ＝0.033 m

3-36 分析 因质点系的质心是静止的, 质心的速度为零, 即vC ＝drC

mixi?drcd?????0,故有d?mixi??mixi?0,这是一矢量方程．将质点vc???dtdt?mdt??i?系中各质点的质量和速度分量代入其分量方程式,即可解得第三质点的速度．

解 在质点运动的平面内取如图3 -36 所示坐标．按

?mxii?0的分量式,有

m1v1x?m2v2x?m3v3x?0 m1v1y?m2v2y?m3v3y?0

其中v2x?v2cosθ, v2y?v2sinθ ,θ ＝-30°,代入后得

v3x??mv?m2v2ym2v2x??2.0m?s?1 v2x??2.8m?s?1 v3y?11ym3m3?1?1则 v3??2.8m?si?2.0m?sj

????

3-37 分析 两质点被刚性杆连接构成一整体,其质心坐标可按质心位矢式求出．虽然两力分别作用在杆端不同质点上,但对整体而言,可应用质心运动定律和运动学规律来求解．

解 (1) 选如图所示坐标,则t ＝0 时,系统质心的坐标为

xc0?m2x20?1.5m

m1?m2m1y10?1.9m

m1?m2yc0?对小球与杆整体应用质心运动定律,得

Fx?F1??m1?m2?Fy?F2??m1?m2?dvx (1) dt (2)

dvydt根据初始条件t ＝0 时,v ＝0,分别对式(1)、式(2)积分可得质心速度的分量与时间的

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函数关系式,有

?t0F1dt??F1dt??vx0?m1?m2?dvx, vx??m1?m2?dvy, vy?F1t (3)

m1?m2F2t (4)

m1?m2?tvy00根据初始条件t ＝0 时,x ＝xC0 ,y ＝yC0 ,对式(3)、式(4)再一次积分可得质心坐标与时间的函数关系式,有

?F1?dx??xc0c?0??m?m??dt

2??1xctxc?xc0?F1t2?1.5?0.25t2

2?m1?m2?及

?F2?dy??yc0c?0??m?m??dt

2??1yctyc?yc0?F2t2?1.9?0.19t2

2?m1?m2?(2) 利用动量定理并考虑到系统的初始状态为静止,可得系统总动量与时间的函数关系

P?ΔP???F1?F2?dt??8.0t?i??6.0t?j

0t4-1 分析与解 力对轴之力矩通常有三种情况：其中两种情况下力矩为零：一是力的作用线通过转轴，二是力平行于转轴(例如门的重力并不能使门转)．不满足上述情况下的作用力(含题述作用力垂直于转轴的情况)对轴之矩不为零，但同时有两个力作用时，只要满足两力矩大小相等，方向相反，两力矩对同一轴的合外力矩也可以为零，由以上规则可知(1)(2)说法是正确．对于(3)(4)两种说法，如作用于刚体上的两个力为共点力，当合力为零时，它们对同一轴的合外力矩也一定为零，反之亦然．但如这两个力为非共点力，则以上结论不成立，故(3)(4)说法不完全正确．综上所述，应选(B)．

4-2 分析与解 刚体中相邻质元之间的一对内力属于作用力与反作用力，且作用点相同，故对同一轴的力矩之和必为零，因此可推知刚体中所有内力矩之和为零，因而不会影响刚体的角加速度或角动量等，故(1)(2)说法正确．对说法(3)来说，题述情况中两个刚体对同一轴的转动惯量因形状、大小不同有可能不同，因而在相同力矩作用下，产生的角加速度不一定相同，因而运动状态未必相同，由此可见应选(B)．

4-3 分析与解 如图所示，在棒下落过程中，重力对轴之矩是变化的，其大小与棒和水平面的夹角有关．当棒处于水平位置，重力矩最大，当棒处于竖直位置时，重力矩为零．因此在棒在下落过程中重力矩由大到小，由转动定律知，棒的角加速亦由大到小，而棒的角速度却由小到大(由机械能守恒亦可判断角速度变化情况)，应选(C)．

4-4 分析与解 对于圆盘一子弹系统来说，并无外力矩作用，故系统对轴O 的角动量守

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