2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：

（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；

（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）求出实验发生包含的事件是3位申请人中，满足条件的所有事件有43种结果．恰有1人申请A片区房源结果，然后求解概率．

（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．

【解答】解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，

每一个有四种选择，共有43种结果． 满足条件的事件恰有1人申请A片区房源有根据等可能事件的概率

．

，

（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，，

，

∴X的分布列为： ξ P 0 ，，

1 2 3 ∴ξ的数学期望：．

法2：每个片区被申请的概率均为，没被选中的概率均为，ξ的所有可能结果为0，1，2，3， 且ξ～B（3，

），，

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，

，

∴X的分布列为：

ξ P ∴X的数学期望：

19．在四棱锥P﹣ABCD中，

，

0 ，

1 2 3 ．（Eξ=1×=）．

，△PAB和△PBD都是边长为2

的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O． （1）求证：O是AD中点； （2）证明：BC⊥PB；

（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．

【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．

（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．

（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．

【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形， ∴PA=PB=PD，

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又∵PO⊥底面ABCD， ∴OA=OB=OD，

则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形， ∴点O为AD中点．

（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点， 于是PO⊥面ABCD， ∴BC⊥PO，

∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD， ∴又从而

，∴

，

，

即CB⊥BO，

由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO， ∴BC⊥PB．

（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，

∵AB=2，则O（0，0，0），

，，

设面PAB的法向量为

，

取x=1，得y=﹣1，z=1，

，则，

，

，

，，，

，，得，

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故．

，则， ，

，

，得s=0，

，

设面PBC的法向量为取r=1，则t=1，故于是

由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角， 所以该二面角的余弦值为

20．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点（2，

）且离心率等于

，

．

点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；

（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆结果的点，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程；

（2）求出kAPkBP=﹣，设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用kOMkON=﹣，推出t2=2m2+4，利用三角形的面积公式，化简求解即可推出结论． 【解答】（1）解：椭圆C：于

，

，即：

，

，解得a2=8，b2=4，

+

=1（a＞b＞0）经过点（2，

）且离心率等

可得=

所求椭圆方程为：．

（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，

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