当前位置：首页 > 理数第七章
系统集成·数学(理)
252y＋5x210xy则＋＝≥＝2. xy101025?所以??x＋y?min＝2.
当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立. (2)因为x>0，
1212
所以f(x)＝＋3x≥2·3x＝12，
xx
12
等号成立的条件是＝3x，即x＝2，
x
所以f(x)的最小值是12.
(3)因为x<3，所以x－3<0，所以3－x>0，
444
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－?3－x＋(3－x)?＋3
??x－3x－3
4
·(3－x)＋3＝－1， 3－x4
当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立.故f(x)的最大值为－1.
3－x
(4)因为x，y∈R且xy≠0，
1111222x2＋2??2＋4y2?＝5＋22＋4x2y2≥5＋2×所以?2＝9，当且仅当即xy＝±时，22＝4xy，y??x??xyxy2
取得最小值9.
【方法归纳】在利用基本不等式“和式≥积式”求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
【举一反三】2.(1)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( B )
911
A.3 B.4 C. D.
22
19
(2)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为 16 .
xy
8－x
【解析】(1)因为x＋2y＋2xy＝8，所以y＝＞0，
2x＋28－x99
所以－1＜x＜8，所以x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2(x＋1)·－2＝4，
2x＋2x＋1x＋1
9
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立.故选B.
x＋1
19?9xy9xy9x＋＝10＋＋≥10＋2(2)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)?·＝10＋2×3＝16.当且仅当?xy?yxyxy
y19
＝，即y＝3x且＋＝1，即x＝4，y＝12时取等号. xxy
题型三 应用基本不等式解实际应用问题
【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.
【思路分析】首先根据题意设出自变量x，并用x的表达式表示因变量y(每天平均支付的费用)，建立数学模型，利用基本不等式或函数单调性求最值.
【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为 3[6x＋6(x－1)＋?＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).
≤－2
13
系统集成·数学(理)
设平均每天所支付的总费用为y1，则
1900y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809
xx900≥2·9x＋10 809＝10 989，
x
900
当且仅当9x＝，即x＝10时，取等号.
x
即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则
1900y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝＋9x＋9 729(x≥35).
xx
900
因为y2′＝9－2，当x≥35时，y2′＞0.
x900
所以y2＝＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函数.
x
70 488
所以x＝35时，y2取最小值. 7
70 488由＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件.
7
【方法归纳】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.
【举一反三】3.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查
k
测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k
2t＋1
为常数).如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2015年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； (2)该厂家2015年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
k
【解析】(1)由题意有1＝4－，
1
3
得k＝3，故x＝4－. 2t＋1
36＋12x18
故y＝1.5××x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6?4－2t＋1?－t＝27－－t(t≥0).
x??2t＋1
?9＋?t＋1??18
(2)由(1)知：y＝27－－t＝27.5－?1?2??.
t＋2t＋1
?2?
199?1?t＋?≥2基本不等式＋?·t＋＝6， 1?2?1?2?t＋t＋2291
当且仅当＝t＋，即t＝2.5时等号成立.
12t＋2
?9＋?t＋1??18
故y＝27－－t＝27.5－?1?2??
t＋2t＋1
?2?
≤27.5－6＝21.5.
91
当且仅当＝t＋时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.
12t＋2
14
系统集成·数学(理)
所以2015年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元.
体验高考
??x－y－1≤0，
(2014山东)已知x，y满足约束条件?当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)
?2x－y－3≥0，?
在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为( )
A.5 B.4 C.5 D.2
??x－y－1≤0，
【解析】B.作出不等式组?表示的平面区域(如图中的阴影部分).
?2x－y－3≥0?
由于a＞0，b＞0，所以目标函数z＝ax＋by在点A(2,1)处取得最小值，即2a＋b＝25. a2＋b2＝a2＋(25－2a)2＝5a2－85a＋20＝(5a－4)2＋4≥4，即a2＋b2的最小值为4.
1|a|
【举一反三】(2013天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝ －2 时，＋取得最小值.
2|a|b
a＋b
【解析】因为a＋b＝2，所以＝1，
2
1|a|1aa＋b?1a?1?a＋ba(a＋b)?1?a＋b2a?1?1b
＋＝当a>0时，＋＝＋＝＝＝＋＋＋2|a|b2ab2?2ab?2?2a2ab?2?2ab?2?2
2a1?1?5＋b??≥2?2＋2?＝4.
当且仅当(2a)2＝b2，即2a＝b时等号成立.
24
又a＋b＝2，所以a＝，b＝. 33
a?1?a＋b2a?1?1b2a?11|a|1aa＋b?1
－－－－当a<0时，＋＝－－＝－b?＝2?－2a－b?＝2?22ab?≥22|a|b2ab2?2a
?－1＋2?＝3，当且仅当(2a)2＝b2，即b＝－2a时等号成立，又a＋b＝2，所以a＝－2. ?2?4
351|a|
因为<，所以a＝－2时，＋取最小值.
442|a|b
7.5 不等式的综合应用
考点诠释
重点：利用不等式研究函数的定义域、值域、单调性，求函数的最值，解决实际问题中的优化问题.
难点：解决含参数的不等式问题.
典例精析
题型一 含参数的不等式问题
【例1】设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1]·(x2－ax－1)≥0，则a＝ . 【思路分析】对a进行分类讨论，然后验证.
15
系统集成·数学(理)
3
【解析】.当a＝1时，－(x2－x－1)≥0对x>0不恒成立，舍去；
2
当a<1时，(a－1)x－1<0，x2－ax－1≤0对x>0不恒成立，舍去；
1
当a>1时，即?x－a－1?(x2－ax－1)≥0，
??
111a
因为>0，则x2－ax－1＝0的一个根为，即?a－1?2－
??a－1－1＝0， a－1a－1
31?x2－3x－1?＝1(x－2)2(2x＋1)≥0满足题意. 解得a＝0(舍去)，a＝，代入检验得(x－2)·2??422
【方法归纳】在解含参数的不等式时，先按一般不等式解，在变形过程中，若参数影响到不等号的方向，要进行分类讨论.
b
【举一反三】1.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则的取值
a
范围是 [e,7] .
【解析】因为cln b≥a＋cln c，
aba
所以ln b≥＋ln c?ln≥，
ccc
ab
令＝x，＝y，则ln y≥x?y≥ex. cc
3aba
因为5c－3a≤b≤4c－a，所以5－≤≤4－，
ccc
b3x＋y－5≥0，??bcy
即5－3x≤y≤4－x，由?x＋y－4≤0，确定可行域，而＝＝表示可行域内的点P(x，
aax
x??y≥ecb?17?b?b?x???，y)与原点(0,0)连线的斜率，?显然在处取得，＝7，为y＝e过原点的切maxmaxmin?a??22??a??a?线的斜率，
设切点为(x0，e
x0)，则
b?ex＝e0?x0＝1，切点为(1，e)，在可行域内成立，所以??a?minx0x0
b
＝e，所以∈[e,7].
a
题型二 不等式在函数中的应用 【例2】已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围. (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围.
【思路分析】转化为求f(x)－a在[－2,2]上的最小值，再令最小值大于或等于0可求解. 【解析】(1)f(x)≥a即x2＋ax＋3－a≥0， 即使x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 应有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2.
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a. 分以下三种情况讨论：
16
本文作者：...共分享92篇相关文档
