当前位置：首页 > 河北省五个一名校联盟2019届高三数学下学期第一次诊断考试试卷理（含解析）
①当时，则过点且与垂直的直线方程，
令，则得．
若，则，
∴．
若，则，
∴②当
． 时，则有
． ．
.
综上可得
所以存在点满足条件,且m的取值范围是
【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解． 21.已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若
（为常数）
是定义域上的单调函数，求的取值范围； 存在两个极值点
，且
。
，求
的最大值．
【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由
；(Ⅱ)
是单调函数可得在定义域上恒成立，然后转化为二次方程根的分布的问题是方程
的两根，故得
，不妨
处理即可．（Ⅱ）由题意得令
，然后将
表示为的函数，最后根据函数的单调性可求得最大值．
- 21 -
【详解】（Ⅰ）∵，，
∴．
设，
，
∵是定义域上的单调函数，函数
的图象为开口向上的抛物线，
∴
在定义域上恒成立，即
在
上恒成立．
又二次函数图象的对称轴为
，且图象过定点
，
∴，或，解得
.
∴实数的取值范围为．
（Ⅱ）由（I）知函数的两个极值点满足，
所以， 不妨设，则
在
上是减函数，
∴，
∴
．
令，则，
又，即，
解得，
故
，
- 22 -
∴设
．
，
则∴∴即所以
．
的最大值为
在
上为增函数．
，
，
．
或
恒成
【点睛】（1）解答第一问时注意由函数在定义域上为单调函数，可得到
立，然后结合导函数的特点进行求解，解题时注意二次方程根的分布在解题中的应用． （2）解答第二问的关键有两个：一个是把造出变量为的函数，然后再借助单调性求解． 22.在直角坐标系
中，直线的参数方程为
，曲线
（为参数），在以坐标原点为极点，
．
转化为变量的函数，二是通过换元构
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（Ⅰ）求的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将极坐标方程化为同在直线
上，故可根据
；(Ⅱ) 。
,求的最大值.
，然后再结合转化公式求解即可．（Ⅱ）由于点
两点的极径差的绝对值来求出
可化为
，然后再求出其最大值．
【详解】（Ⅰ）极坐标方程所以将
所以曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）不妨设
，
代入上式可得
.
的极坐标分别为
，
- 23 -
，
，点
由，得到．
由，得到．
所以因为所以所以当
，
，
，
时，
取得最大值．
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键．对于极坐标系内的长度问题，根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性． 23.已知（Ⅰ）若
,求不等式
,
的解集；
的解集为,若集合；(Ⅱ)
。
,求的取值范围.
（Ⅱ）设关于的不等式【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可．（Ⅱ）根据题意将问题转化为“对于
，不等式对
【详解】（Ⅰ）当
恒成立”求解，通过去掉绝对值得到
恒成立，求出最值可得结果． 时，不等式
即为
，
等价于或或
解得所以
或．
，
所以原不等式的解集为（Ⅱ）由题意可知，对于
． ，不等式
恒成立，
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故不等式化简得所以即又当所以
时，，
对于
对于恒成立，
，
恒成立， ，且
，
所以实数的取值范围为．
【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．
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