河北省五个一名校联盟2019届高三数学下学期第一次诊断考试试卷理（含解析）

①当时，则过点且与垂直的直线方程，

令，则得．

若，则，

∴．

若，则，

∴②当

． 时，则有

． ．

.

综上可得

所以存在点满足条件,且m的取值范围是

【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解． 21.已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若

（为常数）

是定义域上的单调函数，求的取值范围； 存在两个极值点

，且

。

，求

的最大值．

【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由

；(Ⅱ)

是单调函数可得在定义域上恒成立，然后转化为二次方程根的分布的问题是方程

的两根，故得

，不妨

处理即可．（Ⅱ）由题意得令

，然后将

表示为的函数，最后根据函数的单调性可求得最大值．

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【详解】（Ⅰ）∵，，

∴．

设，

，

∵是定义域上的单调函数，函数

的图象为开口向上的抛物线，

∴

在定义域上恒成立，即

在

上恒成立．

又二次函数图象的对称轴为

，且图象过定点

，

∴，或，解得

.

∴实数的取值范围为．

（Ⅱ）由（I）知函数的两个极值点满足，

所以， 不妨设，则

在

上是减函数，

∴，

∴

．

令，则，

又，即，

解得，

故

，

- 22 -

∴设

．

，

则∴∴即所以

．

的最大值为

在

上为增函数．

，

，

．

或

恒成

【点睛】（1）解答第一问时注意由函数在定义域上为单调函数，可得到

立，然后结合导函数的特点进行求解，解题时注意二次方程根的分布在解题中的应用． （2）解答第二问的关键有两个：一个是把造出变量为的函数，然后再借助单调性求解． 22.在直角坐标系

中，直线的参数方程为

，曲线

（为参数），在以坐标原点为极点，

．

转化为变量的函数，二是通过换元构

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（Ⅰ）求的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将极坐标方程化为同在直线

上，故可根据

；(Ⅱ) 。

,求的最大值.

，然后再结合转化公式求解即可．（Ⅱ）由于点

两点的极径差的绝对值来求出

可化为

，然后再求出其最大值．

【详解】（Ⅰ）极坐标方程所以将

所以曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）不妨设

，

代入上式可得

.

的极坐标分别为

，

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，

，点

由，得到．

由，得到．

所以因为所以所以当

，

，

，

时，

取得最大值．

【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键．对于极坐标系内的长度问题，根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性． 23.已知（Ⅰ）若

,求不等式

,

的解集；

的解集为,若集合；(Ⅱ)

。

,求的取值范围.

（Ⅱ）设关于的不等式【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可．（Ⅱ）根据题意将问题转化为“对于

，不等式对

【详解】（Ⅰ）当

恒成立”求解，通过去掉绝对值得到

恒成立，求出最值可得结果． 时，不等式

即为

，

等价于或或

解得所以

或．

，

所以原不等式的解集为（Ⅱ）由题意可知，对于

． ，不等式

恒成立，

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故不等式化简得所以即又当所以

时，，

对于

对于恒成立，

，

恒成立， ，且

，

所以实数的取值范围为．

【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．

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