河北省五个一名校联盟2019届高三数学下学期第一次诊断考试试卷理(含解析)

（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布． 19.如图，在四面体

，直线

中，与平面

分别是线段所成的角等于

的中点，．

，

，

（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角

平面；

的余弦值．

【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 。 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先证得可得平面

平面

，再证得

，于是可得

平面

，根据面面垂直的判定定理

．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求． 中，是斜边

的中点，

【详解】（Ⅰ）在所以因为所以所以所以又因为所以又所以因为

.

是

的中点， ，且，

.

，

， ， 平面平面

， ，

- 17 -

，

所以平面平面． 中点，连

，则

，

（Ⅱ）方法一：取

因为所以又因为所以所以因此故所以过点作且过点作则因为所以所以因此二面角方法二：

平面平面是直线. ，

，

，

， ． 与平面

所成的角． ，

. 于，则

． 于，连接

为二面角

，

，

，

的余弦值为．

， 平面

，

的平面角．

如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系因为

．

(同方法一,过程略)

- 18 -

则所以设平面则设平面则所以

，

,

,． ,， ，取 ，取

，

为锐角， 的余弦值为．

,得

．

,得

．

，

的法向量，即的法向量，即

由图形得二面角因此二面角

【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系． 20.椭圆

的离心率是，过点

．

做斜率为的直线，椭圆与直线交于

两点，当直线垂直于轴时（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点

，使得是以为底的等腰三角形，若存

在求出的取值范围，若不存在说明理由． 【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】

；(Ⅱ)见解析。

- 19 -

（Ⅰ）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过

点得

，将坐标代入方程后求得是以

，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点，使

为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得

设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段

的中点的坐标，进而得到线段

直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围． 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，

所以，整理得．

故椭圆的方程为．

由已知得椭圆过点， 所以

，解得

， 所以椭圆的方程为

．

（Ⅱ）由题意得直线的方程为．

由消去整理得

， 其中．

设，

的中点

则

，

所以

∴

，

∴点C的坐标为．

假设在轴存在点，使得

是以

为底的等腰三角形，

则点

为线段的垂直平分线与x轴的交点．

的垂

- 20 -