河北省五个一名校联盟2019届高三数学下学期第一次诊断考试试卷理(含解析)

【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题． 16.在

中，内角

所对的边分别为，则

【答案】【解析】 【分析】

由题意及正弦定理得到分别由余弦定理及由基本不等式得到【详解】如图，设

，于是可得可得

，

；然后在

和

中，再

，是

的中点，若

且

面积的最大值是___

．在此基础上可得

，于是可得三角形面积的最大值．

，则

,

在和中，分别由余弦定理可得，

两式相加，整理得∴由整理得

，② ．①

，

及正弦定理得，

由余弦定理的推论可得把①代入②整理得又

，当且仅当

，

，所以．

时等号成立，

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所以所以即

，故得．

．

面积的最大值是

．

．

故答案为

【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列

满足

，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 （Ⅰ）由

；（Ⅱ） 。

可得，两式相减得

到是

，最后验证满足上式，进而得到通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故利用裂项相消法可求出．

，于

【详解】（Ⅰ）∵

∴，

两式相减得，

∴

．

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又当∴∴数列

时，满足上式， ．

的通项公式．

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴∴

．

【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对的验证．

（2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项． 18.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．

某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60,169）． （Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；

（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望. （附：若随机变量

时的情况

，则，，

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）

【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析。 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间区间上的概率求出成绩在区间在区间[61,80]的概率为，且【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩所以

分为

和

两种情况，然后根据特殊

内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩，由此可得的分布列和数学期望．

，

．

所以物理原始成绩在（47，86）的人数为

（人）．

（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为． 所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且所以

， ， ，

所以的分布列为 0 1 2 ．

3 ．

，

所以数学期望

【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．

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