中考数学压轴题解题策略：线段和差最值的存在性问题

例? 如图8-1，已知A(－2,0)、B(4, 0)、D(?5,33)．设F为线段BD上一点（不含端点），连结

AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速

度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

图8-1

【解析】点B(4, 0)、D(?5,33)的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半．

如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了．

如图8-2，在Rt△DEF中，FD＝2FE．如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E．因此当AF＋FE最小时，点M用时最少．

如图8-3，当AE⊥DE时，AF＋FE最小，此时F(?2,23)．

图8-2 图8-3

例? 如图9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．

图9-1

【解析】如图9-2，设AF的中点为D，那么DA＝DE＝DF．所以AF的最小值取决于DE的最小值． 如图9-3，当DE⊥BC时，DE最小．设DA＝DE＝m，此时DB＝m． 由AB＝DA＋DB，得m?m?10．解得m?53531515．此时AF＝2m?． 42

图9-2 图9-3

例? 如图10-1，已知点P是抛物线y?结PD、PE，求PD＋PE的最小值．

12x上的一个点，点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连4

图10-1

【解析】点P不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．

121112

x)，那么PD＝x2?(x2?1)2?(x2?1)2．所以PD＝x2?1．

44441如图10-2，x2?1的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y＝－1的距离PH．所以PD＝PH．因

4此PD＋PE就转化为PH＋PE．

设P(x,如图10-3，当P、E、H三点共线，即PH⊥x轴时，PH＋PE的最小值为3．

高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PD＝PH.

图10-2 图10-3