2018年高考数学破解命题陷阱专题15数列的通项公式的求解方法

专题15 数列的通项公式的求解方法

一．高考命题类型： 1.累和法求通项 2.累积法求通项 3.归纳法求通项 4.项和互化求通项 5.构造辅助数列求通项 （1）an?1?pan?q的形式 （2）an?1?pan?f(n)的形式 6.转化为等差等比求通项 7.倒序相加求通项 8.分奇偶数求解 9.利用周期性求通项 10.裂项求通项 二．类型举例 1.累和法求通项

例1．数列?an?的首项为3， ?bn?为等差数列，且bn?an?1?an（n?N*），若b3??2， b10?12，则a8?（ ）

A. 0 B. 3 C. 8 D. 11 【答案】B

练习1. 已知数列?an?满足a1?1， an?1?an???1?n?11n，则数列??1?an的前40项的和为

n?n?2??? 1

（ ） A.

193254120 B. C. D. 204628441【答案】D

【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。

练习2. 数列?an?满足a1?1，且对于任意的n?N*都有an?1?an?a1?n，则（ ） A.

111??···?等于a1a2a20172016403220174034 B. C. D. 2017201720182018【答案】D

【解析】由题意可得： an?1?an?n?1，则：

a1?1,a2?a1?2,a3?22?3,L,an?an?1?n，

以上各式相加可得： an?n?n?1?2，则：

11??1?2???， annn?1????1??11?1111??4034?1. ??L??2???1???????L??????a1a2a2017223201720182018????????本题选择D选项.

【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一

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个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 练习3. 已知数列?an?满足a1?1， a2?1，若an?an?1?2an?1??3an?1?an?1n?2,n?N*，则数列?an???3的通项an?（ ） A.

11112n?1 B. 2n?1 C. 3n?1 D. 2n?1?1 【答案】B

2.累积法求通项

例2. 数列?an?满足： a1?1,a2?2,an?an?1a (n?3且n?N*)，则a8?（ ） n?2A.

12 B. 1 C. 2 D. 2?2013 【答案】C

【解析】由题意可得aa23?a?2,a?a3?1,aa1a1a45?4?,a6?5?， a7?6?1， 1a2a32a42a5 3

a8?a7?2。选C。 a6练习1已知数列?an?满足

30

40lna1lna2lna3lnan3n,,L?n?N*，则a10?（ ） 3693n2??A. e B. e C. e【答案】C

1103 D. e1003

3.归纳法求通项

nn5??1?5??1?5?????,则a2017一定是 例3.已知数列an?????????5??2??2????A. 奇数 B. 偶数 C. 小数 D. 无理数 【答案】A

nn?????51?51?5????,所以a1?1,a2?1,a3?2,a4?3,a5?5,L,则数列?an?【解析】因为an??????2???5??2??????从第3项开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为1,是奇数,所以从第三项开始,第3n项均为偶数,第3n+1项均为奇数,第3n+2项均为奇数,所以a2017一定是奇数. 【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

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