全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

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3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且

?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，

BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q? ； L.

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（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（I）问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD

参考答案与提示

AB

DC例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG, 显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

AEFCBD.

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EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知 EG

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ACE，

?ABCRt?ABD和等腰

?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与

DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，

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线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0

?

解：（1）ED?2AM，AM?ED； 证明：延长AM到G，使MG?AM，连BG，则ABGC是平行四边形 ∴AC?BG，?ABG??BAC?180? 又∵?DAE??BAC?180? ∴?ABG??DAE 再证：?DAE??ABG ∴DE?2AM，?BAG??EDA 延长MN交DE于H ∵?BAG??DAH?90? ∴?HDA??DAH?90? ∴AM?ED （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使AC?FA，FA交DE于点P，并连接BF ∵DA?BA，EA?AF B A D N H E M G C .