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2010年高考数学题分类汇编(3)函数与导数

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6. (2010年高考浙江卷文科21)(本题满分15分)已知函数f(x)?(x?a)(a-b)

2(a,b?R,a

(I)当a=1,b=2时,求曲线y?f(x)在点(2,f(x))处的切线方程。 (II)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3?x1,x3?x2

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证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求x4

解析:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。 (Ⅰ)解:当a=1,b=2时, 因为f’(x)=(x-1)(3x-5) 故f’(2)=1 f(2)=0,

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2 (Ⅱ)证明:因为f′(x)=3(x-a)(x-

由于a

a?2b), 3a?2b. 3a?2b. 3[

所以f(x)的两个极值点为x=a,x=不妨设x1=a,x2=

a?2b, 3因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的零点, 故x3=b. 又因为

a?2ba?2b-a=2(b-), 331a?2b2a?b x4=(a+)=,

2332a?ba?2b所以a,,,b依次成等差数列,

332a?b所以存在实数x4满足题意,且x4=.

37.(2010年高考辽宁卷文科21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;

(Ⅱ)设a??2,证明:对任意x1,x2?(0,??),|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.

2a?12ax2?a?1?2ax?解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?),f?(x)?. xx学科网-精品系列资料

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当a≥0时,f?(x)>0,故f(x)在(0,+?)单调增加; 当a≤-1时,f?(x)<0, 故f(x)在(0,+?)单调减少;

当-1<a<0时,令f?(x)=0,解得x=?a?1.当x∈(0, 2a??a?1)时, f?(x)>0; 2ax∈(?a?1,+?)时,f?(x)<0, 故f(x)在(0, 2aa?1a?1)单调增加,在(?,2a2a+?)单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+?)单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

f(x1)?f(x2)≥4x1-4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g?(x)?a?1?2ax+4 x

2ax2?4x?a?1=.

x?4x2?4x?1?(2x?1)2于是g?(x)≤=≤0.

xx从而g(x)在(0,+?)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意x1,x2∈(0,+?) ,f(x1)?f(x2)?4x1?x2.

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7.(2010年高考安徽卷文科20)(本小题满分12分) 设函数f?x??sinx?cosx?x?1,0?x??2,求函数f?x?的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应

用数学知识解决问题的能力.

【解题指导】(1)对函数f?x??sinx?cosx?x?1求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值.

解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(3?,2?),23?3?3?单调递增区间是(?,),极小值为f()=,极大值为f(?)=??2222

【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为

0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点. 8. (2010年高考宁夏卷文科21)(本小题满分12分)

x2设函数f?x??xe?1?ax

??(Ⅰ)若a=

1,求f?x?的单调区间; 2(Ⅱ)若当x≥0时f?x?≥0,求a的取值范围 解: (Ⅰ)a?112xxxx时,f(x)?x(e?1)?x,f'(x)?e?1?xe?x?(e?1)(x?1)。当22x????,?1?时f'(x)??;当x???1,0?时,f'(x)?0;当x??0,???时,f'(x)?0。故

f(x)在???,?1?,?0,???单调增加,在(-1,0)单调减少。

(Ⅱ)f(x)?x(x?1?ax)。令g(x)?x?1?ax,则g'(x)?e?a。若a?1,则当

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