2010年高考数学题分类汇编(3)函数与导数

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6. (2010年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）已知函数f(x)?(x?a)（a-b）

2(a,b?R,a

（I）当a=1，b=2时，求曲线y?f(x)在点（2，f(x)）处的切线方程。 （II）设x1,x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3?x1，x3?x2

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证明：存在实数x4，使得x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后的等差数列，并求x4

解析：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。 (Ⅰ)解：当a=1,b=2时， 因为f’(x)=(x-1)(3x-5) 故f’(2)=1 f(2)=0,

所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2 （Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－

由于a

a?2b）， 3a?2b. 3a?2b. 3[

所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝不妨设x1＝a，x2＝

a?2b， 3因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点， 故x3＝b. 又因为

a?2ba?2b－a＝2（b－）， 331a?2b2a?b x4＝（a＋）＝，

2332a?ba?2b所以a，，，b依次成等差数列，

332a?b所以存在实数x4满足题意，且x4＝.

37．（2010年高考辽宁卷文科21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a??2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.

2a?12ax2?a?1?2ax?解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)?. xx学科网-精品系列资料

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当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；

当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?a?1.当x∈(0, 2a??a?1)时, f?(x)＞0； 2ax∈(?a?1，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, 2aa?1a?1）单调增加，在（?，2a2a+?）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2,

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g?(x)?a?1?2ax+4 x

2ax2?4x?a?1＝.

x?4x2?4x?1?(2x?1)2于是g?(x)≤＝≤0.

xx从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2.

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7．(2010年高考安徽卷文科20)（本小题满分12分） 设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x??2，求函数f?x?的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应

用数学知识解决问题的能力.

【解题指导】（1）对函数f?x??sinx?cosx?x?1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，?）与（3?，2?），23?3?3?单调递增区间是（?，），极小值为f()=，极大值为f(?)=??2222

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为

0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. 8. (2010年高考宁夏卷文科21)(本小题满分12分）

x2设函数f?x??xe?1?ax

??（Ⅰ）若a=

1，求f?x?的单调区间； 2（Ⅱ）若当x≥0时f?x?≥0，求a的取值范围 解： （Ⅰ）a?112xxxx时，f(x)?x(e?1)?x，f'(x)?e?1?xe?x?(e?1)(x?1)。当22x????,?1?时f'(x)??;当x???1,0?时，f'(x)?0;当x??0,???时，f'(x)?0。故

f(x)在???,?1?，?0,???单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）f(x)?x(x?1?ax)。令g(x)?x?1?ax，则g'(x)?e?a。若a?1，则当

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