2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用课时训练 理 新人

P(A1A2An)?P(A1)(A2)二项分布的应用

P(An)．

二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：①根据题意设出随机变量；②分析出随机变量服从二项分布；③找到参数n，p；④写出二项分布的分布列；⑤将k值代入求解概率．

箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记

下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为 A．

16 625 B．

96 625 C．

624 625 D．

4 625【答案】B 【解析】获奖的概率为p?362?，记获奖的人数为?，则?~B(4,2)，所以4人中恰好有3人获奖的概2C655率为P?C4()?253396?，故选B． 5625甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为?；乙用这枚硬币掷2次，记正

面朝上的次数为?．

（1）分别求?与?的分布列；

（2）求甲至少有2次正面朝上的概率及乙至多有1次正面朝上的概率；

（3）规定：若???，则甲获胜；若???，则乙获胜，分别求出甲、乙获胜的概率． 【解析】（1）依题意，可知?~B(3,)，?~B(2,)， 1212111123013P(??0)?C3()?，P(??1)?C1()()?， 328228313121211P(??2)?C3()()?，P(??3)?C3()?． 3228281211111111212P(??0)?C0()?P(??1)?C()()?P(??2)?C()?，，． 2222422224所以?的分布列为 ? 0 1 2 3 P 18 0 38 1 38 2 18 ?的分布列为 ? 1P 4 311（2）由（1）知，甲至少有2次正面朝上的概率为P(??2)?P(??2)?P(??3)???；乙至多有88211331次正面朝上的概率为P(??1)?P(??0)?P(??1)???(或P(??1)?1?P(??2)?)． 4244（3）甲获胜的情况有：??1,??0；??2,??0,1；??3,??0,1,2， 所以P(甲获胜)?14 12 3131111111???(?)??(??)?， 8484284242111133???(?)?． 2848816乙获胜的情况有：??1,??0；??2,??0,1，所以P(乙获胜)?【名师点睛】二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 混淆互斥事件与相互独立事件而致错

甲投篮命中率为0.9，乙投篮命中率为0.8，每人投3次，两人都恰好投中2次的概率是多少？

【错解】设“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B， 则“两人都恰好投中2次”为事件A所以P(AB，

22B)?P(A)?P(B)?C3?0.92?0.1?C3?0.82?0.2?0.627．

【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．

【正解】设“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B，且A，B相互独立， 则“两人都恰好投中2次”为事件AB，

2222所以P(AB)?P(A)P(B)?C3?0.9?0.1?C3?0.8?0.2?0.093312．

对独立重复试验理解不透彻而致错

假定一个人在一年365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级有50名同学，其中有2名

及2名以上的同学生于8月8日的概率是多少？（最终结果用式子表示，不必求得具体数值）

1，一个人在365天中的任意一天出生相当于做了365次独立3651)，所以有2名及2名以上的同学生重复试验．设50个人中生于8月8日的人数为X，则X～B(365,36510364365113643640)()?C1()()．于8月8日的概率为P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?C365( 365365365365365【错解】由于每个人在每天出生的概率是【错因分析】产生错解的原因是没有弄清随机试验是否是独立重复试验，每次试验指的是什么．由于每个人在一年中生于8月8日的概率是从而考虑独立重复试验． 【正解】由题意，显然每个人的生日是随机的，互不影响，所以50名同学的生日相当于进行了50次独立1，50名同学的生日相当于进行了50次试验且各次试验互不影响，3651)，从而有2名及2名以上的同学365103645011364490)()?C1()()．生于8月8日的概率为P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?C50( 50365365365365重复试验．若设50个人中生于8月8日的人数为X，则X～B(50,

1．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是 A．

B．

C．

D．

，设表

2．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为示下雨，表示刮风，则A．

B．

，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为

C． D．

3．每次试验的成功率为p(0?p?1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功、后3次都成功的概率为

337A．C10p(1?p)

373B．C10p(1?p)

C．p(1?p)

37

D．p(1?p)

734．甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为P1，乙射中目标的概率为P2，两人各射击1次，那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为 A．P1?P2

B．P1?P2

C．1?P1P2

D．1?(1?P1)(1?P2)

5．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是3的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，至多有3人获奖的概率是

A．

81 625 B．

544 625 C．

216 625 D．

65 816．已知随机变量?～B(6,)，则P(??2)? A．1316 143 B．471 729 C．473 729 D．256 7297．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品、2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设?为取出的次数，则P(??4)?_____________． 8．设X～B(4,p)，且P(X?2)?9．在高三的一个班中，有8，那么一次试验成功的概率p等于_____________． 271的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生4人数?～B(5,)，则P(??k)取最大值时k?_____________．

10．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球

的条件下，第二次也摸出新球的概率为_____________．

11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A?a1a2a3a4a5，其中A的各位数

中，a1?1，ak(k?2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为若运行该程序一次，则 （1）求X?3的概率； （2）求X的分布列．

14132．记X?a1?a2?a3?a4?a5，3