2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用课时训练 理 新人

2.2二项分布及其应用

1．条件概率的概念

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)?0，称P(B|A)?________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．

注意：（1）条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件；（2）若P(A)?0，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)?0的情况下进行． 2．条件概率的性质

（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即________________． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B和C是两个互斥事件，则P(B3．条件概率的计算方法

（1）利用定义计算：先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A)?C|A)?P(B|A)?P(C|A)．

P(AB)即可． P(A)（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，则P(B|A)?________________． 4．相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念

对于两个事件A，B，如果P(B|A)? P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率．设

P(A)?0，根据条件概率的计算公式，P(B)?P(B|A)?P(AB)，从而P(AB)?P(A)P(B)． P(A)由此我们可得：设A，B为两个事件，若________________，则称事件A与事件B相互独立． （2）相互独立事件的性质

如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立． （3）两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到n(n?2,n?N)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2*An)?P(A1)(A2)P(An)．

5．n次独立重复试验

一般地，在________________下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．

注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 6．二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，

n．则P(x?k)?________________，1，2，…，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n,p)，k?0，

并称p为成功概率．

注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n?1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 参考答案：

P(AB)1． P(A)5．相同条件

重点 难点 易错 2．0?P(B|A)?1 kkn?k6．Cnp(1?p) n(AB)3． n(A) 4．P(AB)?P(A)P(B) 相互独立事件同时发生的概率求解、二项分布 条件概率的求解、事件的相互独立性、相互独立事件与互斥事件的区别与联系 混淆互斥事件与相互独立事件、对独立重复试验理解不透彻 条件概率的相关计算及应用

求条件概率P(B|A)的关键是：（1）事件A作为条件；（2）A与B同时发生．公式P(B|A)?是条件概率的定义，同时也是求条件概率的依据．

（1）一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取

到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为____________；

（2）有一批种子的发芽率为0.95，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为____________． 【答案】（1）P(AB)既P(A)4；（2）0.76． 9【解析】（1）记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B．注意这里的问题与“求第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样． 方法一：显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P(AB)?n(AB)6?44??， n(?)10?9154P(AB)154??． 由条件概率的计算公式，得P(B|A)?6P(A)910方法二：因为n(A)?CC1619，n(AB)?CC1614，所以1n(AB)C146C4P(B|A)??11?． n(A)C6C99（2）设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB（发芽且成活为幼苗），则出芽后的幼苗成活率为P(B|A)?0.8，P(A)?0.95，根据条件概率公式P(AB)?P(B|A)?P(A)?0.95?0.8?0.76，故在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为0.76． 【名师点睛】（1）由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．（2）P(B|A)?P(AB)可变P(A)形为P(AB)?P(B|A)?P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．如已知P(A)，P(AB)可求P(B|A)；已知P(A)，P(B|A)可求P(AB)． 相互独立事件概率的计算

（1）掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是

A．互斥但不相互独立 C．互斥且相互独立

B．相互独立但不互斥 D．既不相互独立也不互斥

（2）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B

A．相互独立但不互斥 C．相互独立且互斥 【答案】（1）B；（2）A．

B．互斥但不相互独立 D．既不相互独立也不互斥

【解析】（1）事件A?{2,4,6}，事件B?{3,6}，事件AB?{6}，基本事件空间??{1,2,3,4,5,6}， 所以P(A)?3121111?，P(B)??，P(AB)???，即P(AB)?P(A)P(B)， 6263623因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生， 所以A，B不是互斥事件．故选B． （2）对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立； 对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生， 所以事件A与B不是互斥事件．故选A． 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.7，购买乙种商品的概率为0.8，且购买甲

种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： （1）进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； （2）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．

【思路分析】明确购买甲、乙两种商品及顾客之间购买商品都是相互独立的，用字母表示相应的随机事件，利用相互独立事件的概念进行求解即可． 【解析】记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品； 记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品； 记M表示事件：进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买； 记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种； 记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种． （1）已知M?AB，则P(M)?P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56． （2）因为C??A，B所A以B． P(C?PAB)?AB?PAB(?PAB?P(A))PB?PAP((B?0?).(?7?)?（3）因为D?AB，所以P(D)?P(AB)?P(A)P(B)?0.3?0.2?0.06，故P(D)?1?P(D)?0.94． 【名师点睛】事件的相互独立性是高考考查的重点．解题时应注意：（1）需分清事件与事件之间的关联，判断事件是否相互独立；（2）熟记“A，B中至少有一个发生的事件为A不发生的事件为AB；恰有一个发生的事件为(AB)(AB)(AB)B；都发生的事件为AB；都(AB)；至多有一个发生的事件为(AB)；（3）对于多个独立事件同时发生的概率求解问题，可直接利用公式