高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明(一)学案 苏教版选修1-2

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2．2.1 直接证明(一)

课时目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解这两种方法的思考过程、特点．

1．直接证明

(1)直接从________________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式

? ?

??A?B?C?…?本题结论．

? ?

本题条件

2．综合法 (1)定义

从____________出发，以已知的________、________、________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．

(2)综合法的推理过程 已知条件?…?…?结论. 3．分析法 (1)定义

从问题的________出发，追溯导致________成立的条件，逐步上溯，直到________________________________________为止，这种证明方法称为分析法．

(2)分析法的推理过程 结论?…?…?已知条件.

一、填空题

1．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a、b、c的大小关系为____________． 2．设a，b是两个正实数，且a③b>

a＋b22

>ab>b；②b>ab>>ab>a；④b>a>

a＋b2

>a；

a＋ba＋b2

>ab.

金戈铁制卷

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111

3．已知xy＝，0

9334．如果x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是________．

5．要证明a＋a＋7

6．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a、b的大小关系为________．

19

7．已知a、b、u均为正实数，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是

ab__________．

二、解答题

b2a2

8．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.

ab9．已知a，b，c，d∈R，求证：

ac＋bd≤

能力提升

a2＋b2c2＋d2.

10．a>b>c，n∈N，且

*

11n＋≥恒成立，则n的最大值为________． a－bb－ca－c11．已知a、b、c是不全相等的正数，且0

＋logxb＋c2

＋logxa＋c2

1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．

2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．

3．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充．

§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 直接证明(一)

答案

知识梳理

1．(1)原命题的条件 (2)已知定义 已知公理

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已知定理

2．(1)已知条件 定义 公理 定理

3．(1)结论 结论 使结论成立的条件和已知条件吻合 作业设计 1．a>c>b

解析 ∵(7＋2)＝9＋214， (6＋3)＝9＋218.

∴7＋2<6＋3，∴7－3<6－2，即b6，∴2>6－2，即a>c. ∴a>c>b. 2．③ 3．(0,1)

11

解析 logx>0，logy>0，

33

11

logx＋logy331111

logx·logy≤＝log(xy) 33223111

＝×2＝1.∴0

解析 由x>0，y>0，x＋y＋xy＝2， 则2－(x＋y)＝xy≤?

22

2

?x＋y?2，

??2?

∴(x＋y)＋4(x＋y)－8≥0， ∴x＋y≥23－2或x＋y≤－2－23. ∵x>0，y>0，∴x＋y的最小值为23－2. 5．分析法

解析 要证a＋a＋7

2

2

a＋7

a＋4，

a＋3

只要证a＋7a

由此可知，最合理的是分析法．

2

2

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6．a

解析 a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a＝11＋46，b＝11＋47，明显6<7，故a

7．(－∞，16]

2

2

?19?解析 ∵a＋b＝(a＋b)?＋?

ab?

?

b9a＝10＋＋≥10＋2

abb9a×＝16， abb9a当且仅当＝即3a＝b时取等号，

ab若a＋b≥u恒成立，则u≤16.

b2a2a3＋b3

8．证明 ∵＋＝

abab＝

a＋ba2－ab＋b2

，

ab又∵a>0，b>0，

∴a－ab＋b－ab＝(a－b)≥0，

2

2

2

a2－ab＋b2

∴a－ab＋b≥ab，∴≥1，

ab2

2

a2－ab＋b2

∴(a＋b)·≥a＋b.

abb2a2

∴＋≥a＋b. ab9．证明 ①当ac＋bd≤0时，显然成立． ②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac＋bd)≤(a＋b)(c＋d)．

即证ac＋2abcd＋bd≤ac＋ad＋bc＋bd. 即证2abcd≤bc＋ad. 即证0≤(bc－ad).

因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立． 故原不等式成立， 综合①、②知，命题得证． 10．4

解析 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. 若

11n＋≥恒成立， a－bb－ca－c222

22

22

22

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22

22

22

2

2

2

2

2

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