高数复习（附答案）

《高等数学》（下）

第八章 空间解析几何与向量代数

一、复习与思考

1?向量的模，方向角，方向余弦的概念及坐标表示____________；向量的和、差、数乘、数量积、向量积的概念及坐标表示___________________；两向量平行、垂直的条件______________。

?F(y,z)?02?曲线?绕y轴旋转所得的旋转曲面方程__________________；

?x?0?F(x,y,z)?03.曲线? 关于各坐标面的投影柱面、投影曲线怎么求_______________；

G(x,y,z)?0?4.如何求直线的方程______________；

5.如何求平面的方程_________________；

6.如何利用直线与平面的方程判断：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，特别是平行与垂直关系？

二、练习题 1.填空或选择

（1）已知两点M1(4, 2, 1)和M2(3? 0? 2)? 则M1M2?(?1,?2,1),其模|M1M2|= 2 、方向余

121弦(cos?,cos?,cos?)?(?,?,).

222（2） a?3i?j?2k? b?i?2j?k?则cos?(a,b)?a?b21。 ?|a||b|14?x2?z2?4z?0（3）曲线?绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为x2?y2?z2?4z?0。

?y?0?x2?y2?z（4）以曲线?为准线? 母线平行于z轴的柱面方程是x2?y2??2x.

?z??2x222??x?y?z?2z22

（5）曲线?22关于yoz面的投影柱面为y?z?z=0，关于yoz面的投影曲线2??y?z?x?y2?z2?z?0为?。 ?x?0x?1y?1z?1??与平面?:4x?y?2z?1?0的位置关系为（A）。 123（A）平行；（B）垂直；（C）l??；（D）以上选项均不对。

（6）直线l: 1

2.求平面方程或直线方程

?x?2y?z?1?0（1）求通过点(1? 1? 1)且与直线?平行的直线方程?

x?y?z?3?0?x?1y?1z?1。提示：直线的方向向量

s?(1,?2,1)?(1,1,?1)?(1,2,3)） ??123xyz（2）求通过直线??和点(0? 1? 1)的平面方程.

121解：设所求平面方程是Ax+By+Cz+D=0,则由已知得： （答案：

?A?2B?C?0??A?C,B??C,D?0， ?D?0?B?C?D?0?所以，所求平面方程为x?y?z?0。 （思考：利用点法式方程求解）

第九章 多元函数微分法及其应用

一、复习与思考

1?函数在一点可偏导、连续与可微之间的关系_______________；

2.简单函数求偏导数的方法_______、复合函数求偏导数的链式法则_______、抽象复合函数的偏导数____、隐函数（组）求偏导数的方法、公式________________________。

3?方向导数、梯度、全微分的计算公式_____________________________________。 4.如何求空间曲线的切线与法平面的方程_________________________________。 5.如何求曲面的切平面与法线的方程_______________________________。 6.求多元函数极值的方法：

（1）无条件极值：必要条件，充分条件____________________； （2）条件极值的拉格朗日乘数法_________________。

二、练习题 1.填空或选择

（1）函数f(x,y)在某点处连续是它在该点可微的（B）。

(A)充分条件；（B）必要条件；（C）充要条件；（D）以上选项均不对。 （2）设f(x? y? z)? x3y2z ? 则梯度grad f(1? 1? 1)?（3,2,1）。

1（3）函数f(x,y,z)??x2?y2?z在点(1? 2? 3)处沿方向（?2? ?2? 1）的方向导数最大. 22.求具体函数的偏导数、全微分或方向导数

?2z?z?2z2x?y

（1）设z?ln(1?xy)?e? 求，2? .

?x?y?x?xyy2?z?2z1?2z2x?y2x?y?2e??2e2x?y) ?4e(答案：?，2??，22?x?y(1?xy)?x1?xy?x(1?xy)（2）求函数f(x? y? z)?x3?y2?z在点(1? 1? 1)处沿着从点(1? 1? 1)到点(3? 2? 3)的方向的方向导

2

?

（答案：10/3）

（3）求函数u?sin(xyz)?exy的全微分du.

(答案：du?(yzcos(xyz)?yexy)dx?(xzcos(xyz)?xexy)dy?xycos(xyz)dz) 3.求隐函数的偏导数或复合函数的偏导数

（1）设z?uv? 而u?1?xy? v?y2? 求?z?z?x?

?y.

解? ?z??z?u??z?v?vuv?12?x?u?x?v?x?y?y3(1?xy)y?1，

?z?z?u?z?v22?y??u?y??v?y?vuv?1?x?uvlnu?2y?xy2(1?xy)y?1?2y(1?xy)yln(1?xy)。（链式法则）

（2）设z?f(x?y? xy) ? 其中f具有一阶连续偏导数, 求?z?x? ?z?y? （答案：?z?x?f1??yfz2?,??y?f1??xf2?）

（3）设ez

?xyz? 求?z?z?2z?x? ?y? ?x2?

解：F?ez?xyz，

?z?x??FxF?yz?xy,?z?y??FyF?xzzzez?xy （公式） ze?z?2zy(ez?xy)?yz(ez??z?y)2y2zez?2xy3z?y2z2ez?x2??x?x?ez?xy?2??。 ez?xy?34.曲线的切线与法平面问题，曲面的切平面与法线问题

?x?（1）求曲线?t?y?t2 在点(1? 1? 1)处的切线方程和法平面方程.

??z?t3解：点(1? 1? 1)对应t=1，

曲线在点(1? 1? 1)处的切向量T?(1,2t,3t2)|t?1?(1,2,3)， 所以，所求切线的方程为

x?1y?1z?11?2?3， 法平面方程是：1?(x?1)?2?(y?1)?3?(z?1)?0，即x?2y?3z?6?0。 （2）求曲面z?ez?2xy?3在点(1? 2? 0)处的法线方程与切平面方程? 解：令F?z?ez?2xy?3

曲面在点(1? 2? 0)处的法向量n?(Fx,Fy,Fz)|(1,2,0)?(2y,2x,1?ez)|(1,2,0)?(4,2,0)，3

数

所求法线方程为：

x?1y?22?1?z0， 切平面方程是：2(x?1)?1?(y?2)?0?z?0，即2x?y?4?0。 5.极值或最值问题

（1）求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值.

解：???f,y)?3x2x(x?6x?9?3(x?3)(x?1)?0?，得驻点(?3,0),(?3,2),?fy(x,y)??3y2?6y??3y(y?2)?0(1,0),(1,2)， 而fxx(x,y)?6x?6，fxy(x,y)?0，fyy(x,y)??6y?6， 列表：

驻点 fxx(x,y)(A) fxy(x,y)(B) fyy(x,y)(C) AC?B2 结论 （-3，0） -12 0 6 -72 不是极值点 （-3，2） -12 0 -6 72 是极大值点 （1，0） 12 0 6 72 是极小值点 （1，2） 12 0 -6 -72 不是极值点 极大值f(?3,2)?31, 极小值f(1,0)??5。 （2）求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.

解：建立空间直角坐标系，原点在球心,设在第一卦限的长方体的顶点为(x,y,z), 则体积V?8xyz 且满足x2?y2?z2?a2（x>0, y>0, z>0）, 作拉格朗日函数L?8xyz??(x2?y2?z2?a2)，令

??Lx?8yz?2?x?0(1)??Ly?8xz?2?y?0(2)?Lz?8xy?2?z?0(3)

??x2?y2?z2?a2(4)由(1)(2)(3)得x?y?z，再由(4)得x?y?z?33a。 由于最大体积的长方体一定存在，而可能最值点唯一， 所以，当长方体为正方体且边长为

23

3

a时体积最大。 4