2015年高考数学解析几何

【考点】直线与圆锥曲线的关系．

【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m+2）y﹣

2

2mny+n﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得0，即可解出．

（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=即可得出．

【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程

2

2

2

22

，代入△＞

，再利用均值不等式

，

可得（m+2）y﹣2mny+n﹣2=0，

222222

设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4mn﹣4（m+2）（n﹣2）=8（m﹣n+2）＞0， 设线段AB的中点P（x0，y0），则由于点P在直线y=mx+上，∴∴解得m

2

4

．x0=﹣m×

=

2

+n=，

+，

，代入△＞0，可得3m+4m﹣4＞0， ，∴

或m

．

（2）直线AB与x轴交点横坐标为n， ∴S△OAB=

=|n|?

=

，

由均值不等式可得：n（m﹣n+2）

222

=，

∴S△AOBm=

，

=，当且仅当n=m﹣n+2，即2n=m+2，又∵

22222

，解得

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当且仅当m=

时，S△AOB取得最大值为

．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

7．（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的离心

率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．

【解答】解：（1）由题意可得，e==且c+

=3，解得c=1，a=

， +y=1；

2

，

则b=1，即有椭圆方程为

（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意； 当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），

2222

将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k）x﹣4kx+2（k﹣1）=0， 则x1+x2=

，x1x2=

，

则C（，），且|AB|=?=，

若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；

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则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），

从而|PC|=，

由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．

8．（2015?陕西）如图，椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为

．

（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=结合a=b+c，解得a=所以

+y=1；

22

2

2

+y=1，运用韦

2

，b=1，

，

（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0）， 代入椭圆方程

2

2

+y=1，

2

可得（1+2k）x﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0， 由已知得（1，1）在椭圆外， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，

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则x1+x2=

2

2

，x1x2=

2

，

且△=16k（k﹣1）﹣8k（k﹣2）（1+2k）＞0，解得k＞0或k＜﹣2． 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=

+

=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）?

=2k+（2﹣k）?=2k﹣2（k﹣1）=2．

即有直线AP与AQ斜率之和为2． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．

9．（2015?山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，

左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：

+

=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E

于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求|

|的值；

（ii）求△ABQ面积的最大值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程． 【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；

（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），|E的方程，化简整理，即可得到所求值；

|=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2， 又=

，a﹣c=b，

2

2

2

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