高中数学 课时作业18 等比数列的前n项和(第2课时)新人教版必修5

1．已知数列{an}成等比数列，且an>0. (1)若a2－a1＝8，a3＝m.

①当m＝48时，求数列{an}的通项公式； ②若数列{an}是唯一的，求m的值．

(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．

解析 设公比为q，则由题意，得q>0.

??a1q－a1＝8，

(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得?2

?a1q＝48.?

*

解之，得?

?a1＝82－3，?q＝3＋3

或?

?a1＝82＋3，?q＝3－3.

所以数列{an}的通项公式为

an＝8(2－3)(3＋3)n－1，或an＝8(2＋3)(3－3)n－1.

②要使满足条件的数列{an}是唯一的，

??a1q－a1＝8，

即关于a1与q的方程组?2

?a1q＝m?

有唯一正数解，

即方程8q－mq＋m＝0有唯一解．

由Δ＝m－32m＝0，a3＝m>0，所以m＝32，此时q＝2. (2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8， 得a1(q－1)(qkk－1

2

2

＋qk－2

＋…＋1)＝8，且q>1.

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)

8q1k＝k＝8(q－1＋k＋2)≥32， q－1q－1当且仅当q－1＝

k2k1kk，即q＝2，a＝8(2－1)时， 1

qk－1

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.