高中数学 课时作业18 等比数列的前n项和(第2课时)新人教版必修5

【高考调研】2015年高中数学 课时作业18 等比数列的前n项和（第

2课时）新人教版必修5

1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( ) A．33 C．84 答案 C

2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( ) A．2 17

C. 2答案 D

3．设公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝q＋k，那么k等于( ) A．2 C．0 答案 D

B．1 D．－1

nB．72 D．189

S4

a2

B．4 15D. 2

a11－qna1a1n解析 Sn＝＝－q＝A－A·qn.

1－q1－q1－q1

4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )

4A．16(1－4) 32－nC.(1－4) 3答案 C

12n－1

解析 考查的是等比数列的性质，令bn＝anan＋1＝16·()也是等比数列．

2

5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中5

项为，则S5＝( )

4

A．35 C．31 答案 C

解析 设数列{an}的公比为q，a2·a3＝a1·q＝a1·a4＝2a1?a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q513

＝2＋4q＝2×?q＝.

42

2

3

3

－nB．16(1－2) 32－nD.(1－2) 3

－nB．33 D．29

a4a11－q5

故a1＝3＝16，S5＝＝31.

q1－q6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2－1，则a1＋a2＋…＋an等于( ) A．(2－1) C．4－1 答案 D

解析 ∵Sn＝2－1，∴a1＝1，q＝2. ∴{an}也成等比数列．a1＝1，公比为4. ∴a1＋a2＋…＋an＝

2

2

2

2

2

n222

n2

1n2

B.(2－1) 31nD.(4－1) 3

nn1·

4－11n＝·(4－1)．

4－13

n7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________. 7

答案

3

33

S61－q61＋q1－q33

解析 设数列{an}的公比为q，则＝＝1＋q＝3，所以q＝3＝3

S31－q1－qS6

S3S9S6

S91－q91－2372.＝＝＝. S61－q61－223

另解 ∵{an}为等比数列， ∴S3，S6－S3，S9－S6成等比， 即(S6－S3)＝S3·(S9－S6)． 又＝3，＝S3代入上式， S3342S6S97得S6＝·(S9－S6)及＝. 93S63

8．在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则{bn}的前n项和为__________．

2答案 2－n 3

1

解析 {an}成等比数列a1＝2，公比q＝.

3

2

S6S6

an＝2·??n－1.

3

∴bn＝

?1???

an＋an＋1?1?n－1?1?n4?1?n－1

2

＝???3?

＋??＝·???3?3?3?

.

∴{bn}的前n项和为

1?4?

·?1－n?3??3?1?2

＝2?1－n?＝2－n. 13?3?1－3

9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________． 1答案

3

a11－q2

解析 由题意得2(2S2)＝S1＋3S3，即4S2＝S1＋3S3，很明显公比q≠1，则4＝

1－qa11－q31a1＋3，解得q＝.

1－q3

10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)

①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an. 其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和． 答案 ①④

解析 ②不能唯一确定 ③需对n讨论． ．．11．(2013·陕西)设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列． 解析 (1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q＋…＋a1q2

n－1

，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1q.

n∴Sn＝

a11－q1－qnna1，q＝1，??

，∴Sn＝?a11－qn，q≠1.??1－q

(2)证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋， (ak＋1＋1)＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

2

a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

2kkk－1k＋1k－1k＋1

a2·a1q＋a1q＋a1q， 1q＋2a1q＝a1q∵a1≠0，∴2q＝q2

kk－1

＋qk＋1

.

∵q≠0，∴q－2q＋1＝0，∴q＝1，与已知矛盾． ∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

12．已知数列{an}是公差为2，首项a1＝1的等差数列，求数列{2an}的前n项和Sn. 分析 先证明数列{2an}是等比数列．

解析 由题意得an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1， 则2an＝2

2n－1

2an＋12，所以＝2n－1＝4.

2an2

2n＋1－1

所以数列{2an}是首项为2a1＝2，公比为4的等比数列． 2

所以Sn＝

1－41－4

n2n2＝×4－. 33

13．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式． 分析 列方程求出首项和公比．

a11－qn解析 由题设知a1≠0，Sn＝，

1－q??a1－q则?1－q??q<1，

1

a1q2＝2，

4

a11－q2

＝5×，1－q

1

解得a1＝2，q＝－1或a1＝，q＝－2.

2则通项公式为an＝2×(－1)

n－1

1n－1

或an＝×(－2).

2

14．已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中的部分项组成的数列ak1，ak2，…，akn，…恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17.

(1)求kn；

(2)求证：k1＋k2＋…＋kn＝3－n－1.

解析 (1)由题设知：ak1，ak2，ak3即为a1，a5，a17成等比数列，则a5＝a1·a17，即(a1＋4d)＝a1(a1＋16d)．

∵d≠0，∴a1＝2d.公比q＝∴akn＝ak1·qn－1

2

2

na5a1＋4d＝＝3. a1a1

＝a1·3

n－1

.

a1

又akn＝a1＋(kn－1)d＝a1＋(kn－1)·，

2a1n－1

∴a1＋(kn－1)·＝a1·3.

2

∵a1≠0，∴kn＝2×3

n－1

－1.

0

1

2

(2)证明 k1＋k2＋…＋kn＝2×(3＋3＋3＋…＋3

n－1

3－1n)－n＝2×－n＝3－n－1.

3－1

n