高考数学中档题强化训练(4)-(6)

高考数学中档题精选（4）

1．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin(x?常数），

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若x?[?解：（Ⅰ）

?6)?sin(x??6)?cosx?a(a?R,a是

??,]时,f(x)的最大值为1，求a的值.

22f(x)?sin(x??6)?sin(x??6)?cosx?a?3sinx?cosx?a……2分

?2sin(x??6)?a………………………………………4分

∴f(x)的最小正周期为2π …………………………………6分

（Ⅱ）?x???????,?22???x????2????,??………………………………8分 6?33?∴f(x)的最大值为2+a…………………………………………………………10分 ∴2+a=1 ∴a=－1………………………………………………………12分

2．（本小题满分12分）

数列{an} 的前n项和Sn?a?2n?b(n?N),其中a,b是常数. （Ⅰ）若{an}是等比数列，求a,b应满足的条件？ （Ⅱ）当{an}是等比数列时，求limSn的值.

n??Sn?12．解：（理）（Ⅰ）由已知a1?S1?2a?b………………………………………………2分

由n?2时,an?Sn?Sn?1?a?2n?b?(a?2n?1?b)?a?2n?1…………4分 ∴当a≠0时，{an} 从第二项起成等比数列.

若{an}是等比数列，则首项为a，公比为2.

∴2a+b=a ∴a+b=0……………………………………………………6分 ∴若{an}为等比数列，a、b应满足的条件是a+b=0，且a、b均不为零.…8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）Sn?a?2n?aSnn??Sn?1nSn?1?a?2n?1?a…………………………10分

n?lim1n1?()a?2?a2?11…………………12分 2?lim?lim?lim?.n?1n?1n??a?2?an??2?1n??1n22?()2

3．（本小题满分12分）

长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E 是侧棱BB1中点.

（Ⅰ）求证：直线AE⊥平面A1D1E； （Ⅱ）求二面角E—AD1—A1的大小； （Ⅲ）求三棱锥A—C1D1E的体积. 解：（Ⅰ）已知几何体为长方体

∴A1D1⊥平面ABB1A1

∴A1D1⊥AE………………………………2分 又AB＝１，BB1=2，E为BB1的中点 ∴△ABE为等腰直角三角形

∴AE=2同理A1E=2

∴∠AEA1为直角 即AE⊥A1E

∴AE⊥平面A1D1E………………………………4分

（Ⅱ）取AA1中点O，连OE，则EO⊥A1A、EO⊥A1D1、

∴EO⊥平面ADD1A1…………………………………………5分 过O在平面ADD1A1中作OF⊥AD1，交AD1于F 连结EF，则AD1⊥EF

∴∠EFO为二面角E—AD1—A1的平面角……………………7分

AD15

??AFO中,OF?OA?sin?OAF?OA?11?1??AD155

?tg?EFO?5??EFO?arctg5

即二面角E?AD1?A1的大小为arctg5.………………………………9分 （Ⅲ）由于AB∥C1D1 ∴AB∥平面C1D1E 111 ?VA?C1D1E?VB?C1D1E?VD1?BC1E??(?1?1)?1?…………………12分

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高考数学中档题精选（5）

1．（12分）设a，b，c分别为△ABC的边BC，CA，AB的长，且a?b?mc?0（m

为常数）.若(ctgA?ctgB)tgC?1，求m的值.

解： 由(ctgA?ctgB)tgC?(cosA?cosB)sinC?sin(A?B)sinC?1

sinAsinCcosCsinAsinBcosC2222 ?A?B?C?180.?sinA(?B)?sinC.?sinC?sinAsinBcoCs.（6分）

? 由正弦定理得c?abcosC.（8分）从而由余弦定理及a?b?mc?0得 c2?a2?b2?2abcoCs?mc2?2c2.?m?3.（12分）

2．（12分）已知数列{an}的前n项的和为Sn，且an?Sn?Sn?1(n?2,Sn?0)且a1?（1）求证：{22222. 91}为等差数列； Sn（2）求：liman的值；

n??Sn11???1SnSn?1（3）求满足an＞an－1的自然数n的集合. 解：（1）由an?Sn?Sn?1?Sn?Sn?1知(n?2)（2分）

当n≥2时{11111??(n?1)?(?1)??n?(n?2)（3分） }成等差数列 ?SnS12Sn1191又∵当n=1时，1?1?9而n=1时，?n??（4分） 故当n≥1时，{}成等

22SnS1a12an2?lim?0（8分） n??Sn??13?2nn16（3）当n≥3时，an?an?1??????0（9分）

(11?2n)(13?2n)(15?2n)差数列 （5分） （2）lim?131511?n?或n?,又n?N?2224、5、7}（12分） a2?a1 ∴满足题设的n集合为{3、

3．（本小题满分12分）.

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，A1C1的中点为D.

（Ⅰ）求证BC1∥平面AB1D；

（Ⅱ）求二面角A1—B1D—A的大小； （Ⅲ）求点B到平面的AB1D的距离. 解：（Ⅰ）连结A1B，设A1B与AB1相交于点O，则O为A1B的中点.

连结DO，因为D为A1C1中点，所以DO为△

A1BC1的中位线，

所以DO∥BC1.

又DO?平面AB1D，BC1?平面AB1D 所以BC1∥平面AB1D. ……4分

（Ⅱ）由题意知B1D是正△A1B1C1的中线，

所以A1C1⊥B1D.

在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1 所以AD⊥B1D，

所以∠ADA1是二面角A1—B1D—A的平面角……6分

在Rt△ADA1中，tg?ADA1?AA1?3. A1D所以∠ADA1=60°，即二面角A1—B1D—A等于60°. ……8分

（Ⅱ）因为O为A1B中点，所以点B到平面AB1D的距离等于点A1到平面AB1D的距

离.由（Ⅱ）可知B1D⊥平面A1ACC1，

所以平面AB1D⊥平面A1ACC1，且平面AB1D∩平面A1ACC1=AD. 过点A1作A1H⊥AD，垂足为H，则A1H⊥平面AB1D. 所以线段A1H的长度就是点A1到平面AB1D的距离. ……11分

在Rt△A1AD中，A1H?A1D?A1A1?33??.

AD223. 2……12分

所以点B到平面AB1D的距离等于

或设点B到平面AB1D的距离为h，因为VB?AB1D?VD?ABB1, 所以1?(1?AD?B1D)h?1?(1?AB?BB1)(3?A1D),?h?3.

323222……12分

高考数学中档题精选（6）

1.已知函数f(x)?2cosxsin(x??3)?3sin2x?sinxcosx.

（1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的最大值及最小值； （3）写出函数f(x)的单调递增区间. 解：(1)?f(x)?2cosxsin(x??)?33?1?cos2x1?133 ?sin2x?2cosxsin(x?)?(sin2x?cos2x)?223222