2017-2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案苏教版选修2-1

3.2.3 空间的角的计算

学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.

知识点一 空间角的计算(向量法)

思考1 设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？

思考2 若二面角α－l－β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量的夹角〈n1，n2〉一定相等吗？

梳理 空间三种角的向量求法

角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量异面直线所成的角 为范围 a，b，则cos θ＝________＝ ______________. 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向直线与平面所成的角 量为e，平面α的法向量为n，则sin θ＝________＝________. 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向二面角 量分别为n1，n2，则|cos θ|＝________＝|n1·n2|. |n1||n2|

知识点二 向量法求线面角、二面角的原理 1.向量法求直线与平面所成角的原理

条件 直线l(方向向量为e)与平面α(法向量为n)所成的角为θ 图形 π〈e，n〉∈[0，]， 2 π〈e，n〉∈[，π]， 2关系 θ＝－〈e，n〉 计算

2.向量法求二面角的原理

条件 π2θ＝〈e，n〉－ π2sin θ＝|cos〈e，n〉| 平面α，β的法向量分别为n1，n2，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈n1，n2〉＝φ 图形 关系 计算

θ＝φ cos θ＝cos φ θ＝π－φ cos θ＝－cos φ

类型一 求两条异面直线所成的角

例1 如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.

反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.

跟踪训练1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与

CF所成角的余弦值.

类型二 求直线和平面所成的角

例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.

反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线的夹角，再进行换算.

跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，

AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.

类型三 求二面角

例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是

PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.

反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.

跟踪训练3 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求锐二面角APBC的余弦值.

1.在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________.

2.已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是________.

3.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是________. 4.如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝数λ的值为________时，∠AFE为直角.

SFCE＝λ，则当实BFBE