江苏省常州市2018年中考数学试题含答案解析（word版）

理由：设PP′交GN于K． ∵∠G=60°，∠GMN=90°， ∴∠N=30°， ∵PK⊥KN， ∴PK=KP′=PN， ∴PP′=PN=PM， ∴∠P′=∠PMP′，

∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°， ∴∠PMP′=30°，

∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°， ∴QM=QN，QM=QG， ∴QG=QN，

∴Q是GN的中点．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

28．（10.00分）如图，二次函数y=﹣

+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y

轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

（1）b= ﹣ ，点B的坐标是 （，0） ；

（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，代入y=0求出x值，进而可得出点B的坐标；

（2）代入x=0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为（m，m+2），分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB=1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论；

（3）作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，利用面积法可求出n值，进而可得出

==

，结合∠

AOC=90°=∠BOE可证出△AOC∽△BOE，根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此题得解． 【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=﹣∴﹣

﹣4b+2=0，

+bx+2的图象上，

∴b=﹣．

当y=0时，有﹣x2﹣x+2=0， 解得：x1=﹣4，x2=， ∴点B的坐标为（，0）． 故答案为：﹣；（，0）．

（2）当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2， ∴点C的坐标为（0，2）．

设直线AC的解析式为y=kx+c（k≠0），

将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y=kx+c中， 得：

，解得：

，

∴直线AC的解析式为y=x+2．

假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．

①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m﹣，m+3）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+3=﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2， 整理，得：12m2+20m+9=0． ∵△=202﹣4×12×9=﹣32＜0，

∴方程无解，即不存在符合题意得点P；

②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m+，m+1）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，

∴m+1=﹣×（m+）2﹣×（m+）+2， 整理，得：4m2+44m﹣9=0， 解得：m1=﹣

，m2=

或﹣2+

，

．

或﹣2+

．

∴点P的横坐标为﹣2﹣

综上所述：存在点P，使得PM：MB=1：2，点P的横坐标为﹣2﹣（3）∠CBA=2∠CAB，理由如下：

作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示． ∵点B（，0），点C（0，2）， ∴OB=，OC=2，BC=． 设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，

由面积法，可知：OB?CE=BC?EF，即（2﹣n）=n，

解得：n=． ∵

==

，∠AOC=90°=∠BOE，

∴△AOC∽△BOE， ∴∠CAO=∠EBO，

∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．

【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（3）构造相似三角形找出两角的数量关系．