（统编版）2020高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系优化训练新人教B版必修59

1.2.3 空间中的垂直关系

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( )

?A.mα,m∩n=B,l⊥n,l⊥ml⊥α ?B.m?α,n?α,m∩n=B,l⊥m,l⊥n?l⊥α

C.m?α,n?α,m∩n=B?l⊥n,l⊥m,l⊥α D.m?α,n?α,l⊥m,l⊥n?l⊥α 解析：将文字语言转化为集合符号语言时，比较好的方法是边读题，注意各个要求，边画图，同时用符号表示出来，它们同步进行，可以避免漏条件.另外由于这是一道选择题，也可以从选项入手排除错误选项，确定正确答案. 答案：B

2.关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：

①m∥α,n∥β且α∥β，则m∥n；②m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n； ③m⊥α,n∥β且α∥β，则m⊥n；④m∥α,n⊥β且α⊥β，则m∥n. 其中真命题的序号是( )

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

解析：①若m∥α,n∥β且α∥β，则m∥n为假命题，可能出现直线相交的情况；④若m∥α,n⊥β且α⊥β，则m∥n为假命题，可能出现直线相交的情况. 在①④的条件下，m、n的位置关系不确定. 答案：D

3.PA⊥正方形ABCD各边，连结PB、PC、PD、AC,则互相垂直的平面有_____________对. 解析：由已知可得，PA、AB、AD、BC、CD均是某个平面的垂线，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PDC，平面PAC⊥平面ABCD. 答案：6

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.下列叙述正确的是( ) A.m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥β B.α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n C.α⊥β,m⊥α,n∥β?m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β 解析：此类题采用排除法解题，通过很好地找出反例，从而准确地判断出直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.

答案：B

2.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.若a∥b，a∥α，则b∥α B.若α⊥β，a∥α，则a⊥β

C.若α⊥β，a⊥β，则a∥α D.若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β 解析：对于A，直线b可能在平面α内；对于B，直线a可能与平面β斜交；对于C，直线a可能在平面α内.因此，选D.

1

答案：D

3.如图1-2-3-1，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a,PB=PD=2a,则它的五个面中，互相垂直的面是_____________.

图1-2-3-1 图1-2-3-2

解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD,PA⊥AB,∴PA⊥面ABCD,PA⊥CD,PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论. 答案：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.

4.如图1-2-3-2,已知a∥α,a⊥β.求证：α⊥β.

解析：已知条件中已经有一条直线a与平面β垂直，可以想到利用线面平行的性质定理，过a作辅助平面去截平面α，从而在平面α内找一条与直线a平行的直线. 证明:过a作一平面γ，设γ∩α=a′， ∵a∥α，则a∥a′. 又∵a⊥β,则a′⊥β,

又∵a′?α，由面面垂直的判定定理知α⊥β.

5.如图1-2-3-3,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E是侧棱PD的中点.

图1-2-3-3

(1)求证:PB∥平面EAC; (2)求证:AE⊥平面PCD.

解析：(1)要证线面平行,只需在面EAC中找一直线与PB平行即可. (2)只需在PCD中找两条相交直线与AE垂直即可.

证明:(1)连结BD,BD∩AC=O,连结EO,则EO为△PDB的中位线,则PB∥EO.所以PB∥平面EAC. (2)

平面PAD?平面ABCD???CD⊥平面PAD?CD⊥AE.

矩形ABCD?CD?AD?EP?ED???AE⊥PD,则AE⊥平面PCD.

正?PAD?6.如图1-2-3-4所示,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD.PA=2c,Q是PA的中点.

2

图1-2-3-4

求:(1)点Q到BD的距离; (2)点P到平面BQD的矩离.

解：(1)在矩形ABCD中,作AE⊥BD,E为垂足,连结QE.

∵QA⊥平面ABCD,可证得QE⊥BE,∴QE的长为点Q到BD的距离.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,∴AE=

aba2?b2.

∴在Rt△QAE中,QA=

12PA=c. 2∴QE=QA2?AE2?c2?ab2a2?b2. 的距离为c2?a2∴Q到BDb2a2?b2. (2)方法一:∵平面BQD经过线段PA的中点,

∴点P到平面BQD的距离等于点A到平面BQD的距离. 在△AQE中,作AH⊥QE,H为垂足. ∵BD⊥AE,BD⊥QE,

∴BD⊥平面AQE.∴BD⊥AH.

∴AH⊥平面BQE,即AH为点A到平面BQD的距离. 在Rt△AQE中,AQ=c,AE=

aba2?b2,

∴AH=

abc.

(a2?b2)c2?a2b2∴点P到平面BDQ的距离为

abc(a2.

?b2)c2?a2b2方法二:本题也可用体积法求解. 设点A到平面QBD的距离为h, 由VA—BQD=VQ—ABD,

13S1△BQD·h=3S△ABD·AQ,

3

∴h=

S?ABD?AQabc. ???22222S?BQD(a?b)c?ab30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.给出以下四种说法：

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中正确的个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1 解析：根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定易知③错,①②④正确，故选B. 答案：B

2.已知直线l和平面α、β,且lα,lβ,给出以下3个论断:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.从中任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,那么( ) A.一共可以写出6个命题,其中有2个命题正确 B.一共可以写出3个命题,其中有2个命题正确 C.一共可以写出6个命题,这6个命题都正确 D.一共可以写出3个命题,这3个命题都正确

解析：(1)①②?③;(2)②③?①;(3)①③?②,其中(1)(3)为真命题. 答案：B

3.如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α⊥γ且α⊥β

l???m???解析：由已知有??l⊥m.故A对. ??α⊥γ,又l=β∩γ?m???m???答案：A

4.若△ABC所在平面外一点P，分别连结PA、PB、PC,则这四个三角形中直角三角形的个数最多为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：设△ABC为Rt△,过一锐角顶点A作PA⊥平面ABC，则四个三角形都是直角三角形，∴应选D. 答案：D 5.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m?α，n?β，m∥n，则α∥β；③若m∥n，m⊥α，则n⊥α；④若m⊥α，m?β，则α⊥β；其中正确命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：①③④都是教材上定理的变形，只有②是错误的，因为两个不重合的平面内只有一条直线互相平行，是不能推出两平面平行的. 答案：C

6.已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是 ( ) A.平面ABC必不垂直于α

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