考点17 特殊的平行四边形-备战2020年中考数学考点一遍过

考点17 特殊的平行四边形

一、矩形的性质与判定 1．矩形的性质：

（1）四个角都是直角； （2）对角线相等且互相平分；

（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形； （2）有三个角是直角； （3）对角线相等的平行四边形． 二、菱形的性质与判定 1．菱形的性质： （1）四边相等；

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角； （3）面积=底×高=对角线乘积的一半． 2．菱形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的平行四边形； （3）四条边都相等的四边形． 三、正方形的性质与判定 1．正方形的性质：

（1）四条边都相等，四个角都是直角； （2）对角线相等且互相垂直平分；

（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB． 2．正方形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形； （2）一组邻边相等的矩形； （3）一个角是直角的菱形； （4）对角线相等且互相垂直、平分． 四、联系

（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角． 五、中点四边形

（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

考向一 矩形的性质与判定

1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半．

3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．

典例1 （2019·陕西初三期中）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于

A．105° 【答案】B

B．110° C．115° D．120°

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°． +55°=110°∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°．故选B．

典例2 （2019·阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数

A．5.5 【答案】A

B．5 C．6 D．6.5

【解析】连接BD交AC于E，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴?B?90,AE?∴AC?o1AC， 2∴AE=6.5， AB2?BC2?52?122?13，∵点A表示的数是?1，∴OA=1，∴OE=AE?OA=5.5，∴点E表示的数是5.5， 即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.

1．（2019·陕西师大附中初三月考）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD

2．（2019·云南初二期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且

点E是AD边上一动点，延长EO交于BC点F，当点E从点D?DAC?60?，?ADB?15?，

向点A移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是

A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形

考向二 菱形的性质与判定

1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的判定：

四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A．两组对边分别平行 C．一组邻边相等

B．两组对边分别相等 D．对角线互相平分