【精品高考数学】仿真卷10-决胜2020年高考数学实战演练仿真卷(江苏专版)+答案

因为AC?AD?1，AB?2，

所以A?0,0,0?，C?1,0,0?，B?0,2,0?，D?0,0,1?， 因为点E为线段BD的中点，

1??E0,1,所以??.

2??uuuv?v1?uuu（1）AE??0,1,?，BC??1,?2,0?，

2??uuuvuuuvuuuvuuuvAE·BCcos?AE,BC??uuuvuuuv?所以AEBC?24??5， 5?544. 5所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为

（2）设平面ACE的法向量为n1??x,y,z?，

uuuv?uuuv1?AE??0,1,?， 因为AC??1,0,0?，

2??所以n1·AC?0，n1·AE?0，即x?0且y?uuuvuuuv1z?0，取y?1，得x?0，z??2， 2所以n1??0,1,?2?是平面ACE的一个法向量． 设平面BCE的法向量为n2??x,y,z?，

uuuv?uuuv1?因为BC??1,?2,0?，BE??0,?1,?，

2??uuuvuuuv所以n2·BC?0，n2·BE?0，

即x?2y?0且?y? 25 / 26

1z?0，取y?1，得x?2，z?2， 2所以n2??2,1,2?是平面BCE的一个法向量．

所以cos?n1,n2??n1?n2?35???． n1n255?95. 5由图可知二面角为钝角，所以二面角A?CE?B的余弦值为?23．（本小题满分10分）

已知整数n≥3，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，…，AC3n，设A1，A2，A3，…，AC3n中所有元素之和为Sn.

(1) 求S3，S4，S5，并求出Sn； (2) 证明：S3＋S4＋S5＋…＋Sn＝6C5n＋2.

【解析】当n＝3时，集合M只有1个符合条件的子集，

S3＝1＋2＋3＝6，

当n＝4时，集合M每个元素出现了C23次， S4＝C23(1＋2＋3＋4)＝30，(2分)

当n＝5时，集合M每个元素出现了C24次， S5＝C24(1＋2＋3＋4＋5)＝90，

n（n＋1）2所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了C2. n－1次，故Sn＝Cn－1·2n（n＋1）（n＋1）n（n－1）（n－2）(2) 证明：因为Sn＝C2＝＝6C4n－1·n＋1. 24

44454445则S3＋S4＋S5＋…＋Sn＝6(C44＋C5＋C6＋…＋Cn＋1)＝6(C5＋C5＋C6＋…＋Cn＋1)＝6Cn＋2.

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