运用坐标系解题

运用坐标系解题

?x?acos?1，在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为?（a?b?0，?为参数），

y?bsin??在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点

??3)对应的参数??，射线??与曲线C2交于点

332??D(1,)， （1）求曲线C1，C2的方程； （2）若点A(?1,?)，B(?2,??)在

3211曲线C1上，求2?2的值． (3)求证O到AB的距离为定值。(4)求?OAB面积最大值

的圆．已知曲线C1上的点M(1,?1?2和最小值

??1?acos??a?2?3?x?acos??3，

解，（1）将M(1,代入?，得?即?，)及对应的参数??，

3?y?bsin?32??b?1??bnis?3?2?x?2cos?x2?y2?1. 设圆C2的半径为R,由所以曲线C1的方程为?（?为参数），或4?y?sin?题意,圆C2的方程为??2Rcos?,(或(x?R)2?y2?R2).将点D(1,?3)代入

??2Rco?s,得1?2Rcos?3,即R?1.(或由D(1,?13),得D(,),代入322(x?R)2?y2?R2,得R?1),所以曲线C2的方程为??2cos?,或(x?1)2?y2?1.

（2）因为点A(?1,?)，B(?2,??2?12co?s?2) 在在曲线C1上,所以

2??2cos2??14??si?n?1212,

2?2sin2?42,所以

1?12?12?2?(c2?o4?s2ss2?i?)i?(n?c4n?)o? sAD??,BC??，AD=4，

αPAB542，如图，三角形PAB所在的平面?和四边形ABCD所在的平面?垂直，且

BC=8，AB=6，?APD??CPB， 求四棱锥P-ABCD体积的最大值

βDC

ADPA解析:由条件易得AD||BC，且?APD??CPB，AD=4，BC=8，可得tan?APD?= ?CBPBtan?CPB,即PB?PACBAD?2，在平面PAB内以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建

立直角坐标系，则A（-3，0）,B（3，0），设P(x,y),则有

PBPA??x?3?2?y2?x?3?2?y2?2，整理可得一个圆的方程即

x2?y2?10x?9?0?x?0?。

3，三角形ABC中AB=2，AC=3BC,求三角形面积最大值

4，(启东卷)如图所示，在棱长为2的正方体OABC-O1A1B1C1的对角线O1B上有一点P，棱B1C1上有一点Q，当Q在B1C1上运动，点P在O1B上运动时，试求

PQ的最小值

yOz坐标平

，设

解析：建立如图的空间直角坐标系O-xyz，P在xOy坐标平面上的射影落在线段OB上，在面上的射影落在线段

O1C上

?P的坐标

?x,y,z?满足

x?y,z?2?yP?x1,x1,2?x1? ，Q在B1C1上设Q?x2,2,2?，PQ=?x1?x2?2??x1?2?2???x1?2=

?x1?x2?2?x1?x2?2?x1?1??2，当且仅当??x1?12即??x1?1时PQ有最小值，PQ的最小值为

x?1?22。 点评：找出P点的坐标特征及配方法是本题解决的关键。

5， 在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，求AM的最大值

解析:以AB,AD所在直线为x,y轴，建立直角坐标系，则B（2，0）,D（0，2）,C（2，2）,M（2，1）,设N(x,y)则

?ANAM??2,1?,AN??x,y?,AM?AN?2x?y在可行域

?0?x?2??0?y?2内知在点(2,2)处

AM?AN取最大值6.

6，在?ABC中，a=1,b=2,?B?900，若点P为?ABC内任意一点(包括边界)，点P到三边距离之和

为d，设P到AB,BC的距离分别为x,y，请用x,y表示d，并求d的取值范围。 解析:以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系，易知A(0，

3),C(1,0),B(0,0),则直线

AC的方程为

，因为点P为?ABC内任意一点(包括边界)，所以x,y满足线性约束条3x?y?3?0，设P（x,y）

?x?0?件?y?0则d?x?y???3x?y?3?0作出可行域，可知

323x?y?32?12??2?3?x?y?3?。

?d?3。

6， 如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使

得每次翻折后点B都落在边AD上，记为

B?；折痕l与

AB交于点E，点M满足关系式

EM?EB?EB?。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。 (1)若折痕l所

在直线的斜率为k，试写出折痕l所在直线的方程； (2)求动点M的轨迹C1方程。(3)曲线C1关于y轴对称的曲线为C2,C?C1UC2，等腰梯形A1B1C1D1的下低边A1D1在

x轴上，另三边

A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线C相切，求梯形A1B1C1D1面积的最小值。

ABDEC'BC

分析:利用翻折对称性质折痕l与BB?垂直求解(1)利用翻折中的不变量结合向量求解(2)

解析:(1)当k=0时，此时点B与点A（B?）重合，折痕l所在直线的方程为y=1; 当k≠0时,将正方形翻折后点B落在边AD上的点B?(x0,2),显然直线l斜率存在，故不妨设直线l方程为y=kx+b,所以B与点B?关于折痕l所在直线对称，有kBB?=

2x0??1?k??kx02,x0=-2k,故点B?的坐标为B?(-2k,2),从而折痕l所

在直线与BB?的交点坐标(线段BB?的中点)为(-k,1) 所以折痕l所在直线方程为y-1=k(x+k)即y=kx+1+k2. 7， 法一:设M(x,y),由(1)知E（0，1+

x024），由于

EM?EB?EB??(x,y-b)=(0,-b)+(x0,2-b)

x24?x?x0x02,代入b=1+4??y?2?b?≤2) 法二:因为EB=EB?,EM即得y=-

x24+1,又0≤x≤2,所以动点M的轨迹方程为y=-+1(0≤x

?EB?EB?，由向量加法的平行四边形法则知EBMB?为菱形，所

2

2

2

以BM=B?M且B?M⊥AD，则x+y=(2-y),化简得y=-

x24+1(0≤x≤2)。

AB=AC?4，8. 在等腰直角三角形ABC中，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过?ABC的重心，则AP等于 A．2 B．1 C．

84 D． 339，线段AB在直线y??2上移动AB?4 求?ABO外心M的轨迹方程 (2)直线OA与轨迹交于C,D两点，且OD??3OC求直线OA的方程。

变式 线段AB在直线y??2上移动?AOB?

10，三角形ABC中 AB=2，GA?GB?GC?0，MA?MB?MC，GM??AB 求顶点C的轨迹方程。

11，Rt?ABC中，AC=3,BC=4,AB=5 （1）O为三角形的外心，求OC?AC值 (2)P为内切圆上一点，求PA?PB?PC的取值范围。

12，已知三角形ABC三边a,b,c长均为正整数且a?b?c若b为常数，求满足要求的三角形的个数(用b表示)

13，三角形ABC中AB+AC=4，BC=23求三角形面积最大值

14，求证: 边长为a的正三角形的外接圆上任意一点到三个顶点的距离和为定值。

222?4求?ABO外心M的轨迹方程