常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习

常微分方程学习活动6

第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组解在Rn?1dY?A(x)Y，Y?Rn的任一非零dx空间不能与x轴相交．

2．方程组

dY?F(x,Y),x?R,Y?Rn的任何一个解的图象是n + 1维空间中的一条dx积分曲线．

3．向量函数组Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0．

4．线性齐次微分方程组于n + 1个．

5．若函数组?1(x)，?2(x)在区间(a,b)上线性相关，则它们的朗斯基行列式W(x)在区间(a,b)上恒等于零． 6．函数组?dY?A(x)Y,x?R,Y?Rn，的一个基本解组的个数不能多dxsinxcosx?y1?sinx的朗斯基行列式W(x)是W(x)?．

y?cosxcosx?sinx?22??y??y1 7．二阶方程y???xy??xy?0的等价方程组是??．

2??y1??xy1?xy8．若y??1(x)和y??2(x)是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件是线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）．

10．n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．

11．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上可以与x轴横截相交．

12．二阶线性方程y???2y??y?0的基本解组是 e1

?xx ． x,?e 13．线性方程y???y?0的基本解组是cosx,sinx． 14．方程y???xy??x2y?0的所有解构成一个2维线性空间． 15．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个n维线性空间．

二、计算题

1．将下列方程式化为一阶方程组

??f(x)x??g(x)?0 （1）?x?dx?y??dt解 ?，

dy???f(x)y?g(x)??dt（2）

y????a1(x)y???a2(x)y??a3(x)y?0

?dy?dx?y1??dy解 ?1?y2

?dx?dy2?dx??a1(x)y2?a2(x)y1?a3(x)y0?2．求解下列方程组：

?dx?5y?4x??dt（1）?

dy??4y?5x??dt解方程组的系数阵为A???54?? 特征方程为： 54??det(A-?E)=

5??4=(??1)(??9)?0，

45??其特征根为

?1?1,?2?9.

?y1?t?a?当?1?1时,???e??， 其中a, b满足

?b??z1?(A-?E)??=??a??44???b??44??a??b?= 0, ??2

则有a + b = 0．取a = 1, b =?1, 则得一特解??y1?t?1??e ?????1??z1??y2?9t?1?同理,当?2?9时，???e??

?1??z2??et??e9t??y(t)?所以方程组的解为??C1??t??C2?9t? ??z(t)???e??e?

?dx??x??y??dt（2）?

dy????x??y??dt解方程组的系数阵为A??????. ??????????特征方程为: det(A-?E)= =(???)2??2?0

?????特征根为 ?????i.

?x1????i?a?当?1????i时,???e?b? 其中a, b满足

y???1??a????i???a??(A-E)??=???b?=0,

b????i??????故有???ai?b?0 即 b?ai.

??a?bi?0取a?1,b?i，于是方程组对应于

?x1*????i?1??t?cos?t?isin?t??*??e?i?=e??sin?t?icos?t? ?y1???????故特征根?????i所对应的实解为

?x1??t?cos?t??x2??t?sin?t??y?=e??,?y?=e?cos?t?

?sin?t?1????2???所以方程组的解为

3

?x(t)??t?cos?tsin?t??y(t)?=e??sin?tcos?t?????

3．求解下列方程组：

?C1??C? ?2???x?y?x（1）?

?y?3y?2x?解方程组的系数阵为A???11?. ???23?1??1 =?2?4??5?0

?23?? 特征方程为: det(A-?E)=

特征根为

?1?2?i,?2?2?i

?x1?(2?i)t?a??1?i1? 其中a, b满足(?e???11?i??b?y?????1??a??b? = 0, ??当?1?2?i时,??(?1?i)a?b?0即?

?a?(1?i)b?0?第一个方程x(1?i)有?2a?(1?i)b?0 令a?1，则b?1?i

?x(t)?2t?1?于是由 ?)? ??e(cots?istin?1y(t)????i?解得通解 ?

sint?x(t)?2t?cost?=e??cost?sintcost?sint??y(t)????C1??C?. ?2???2x?y?z?x???x?2y?z （2）?y?z???x?y?2z?2?11???解系数阵为A?12?1 ????1?12??2???11特征方程为: det(A-?E)=12???1=(??1)(??2)(??3)?0.

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