(全国通用版)2019最新高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的求和问题学案 文

1则＝

Sn1?11?1

＝?－?，

n?n＋2?2?nn＋2?

1??11?

Tn＝??1－?＋?－?＋…＋?－

324nn＋2??

1??2??

???

?1?

1??

??

11?1?3

－＝?－?，

2?2n＋1n＋2?3∴Tn<. 4

8．在公差不为0的等差数列{an}中，a2＝a3＋a6，且a3为a1与a11的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)

n2

n?an－1??an＋1－1?????2??2??

(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.

*

解 (1)设数列{an}的公差为d， ∵a2＝a3＋a6，

∴(a1＋d)＝a1＋2d＋a1＋5d，① ∵a3＝a1·a11，

即(a1＋2d)＝a1·(a1＋10d)，② ∵d≠0，由①②解得a1＝2，d＝3.

∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N)． (2)由题意知，

*

2

2

2

2

bn＝(－1)nn?3n－3?·?3n＋3???2?2?????

?1＋1?1n33? ＝(－1)··?

6?3n－3n＋?

22??

1?1?1n＋＝(－1)··??

9?2n－12n＋1?

Tn＝?－?＋?＋?＋?－?＋?＋…

133557

1??11??11??11?9???????

11??n?＋＋?－1????

?2n－12n＋1??

1?1?n＝?－1＋?－1?.

2n＋1?9??

B组 能力提高

9．(2018·茂名联考)记函数f(x)＝sin 2nx－cos nx在区间[0，π]内的零点个数为an(n∈N)，

*

13

则数列{an}的前20项的和是( ) A．430 B．840 C．1 250 D．1 660 答案 A

解析 令f(x)＝sin 2nx－cos nx 1??＝2cos nx?sin nx－?＝0， 2??得cos nx＝0，① 1

或sin nx＝，②

2

π

由①得nx＝＋kπ(k∈Z)，

2π

令0≤＋kπ≤nπ(k∈Z)，

211

得－≤k≤n－(k∈Z)，

22故①共有n个解，

π5π

由②得nx＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，

66

π1n1

令0≤＋2kπ≤nπ(k∈Z)，得－≤k≤－(k∈Z)，③

6122125π5n5

令0≤＋2kπ≤nπ(k∈Z)，得－≤k≤－(k∈Z)，④

612212当n为偶数时，③有个解，④有个解，

22故②有n个解，故an＝2n； 当n为奇数时，③有

nnn＋1

2

个解，④有n＋1

2

个解，

故②有n＋1个解，故an＝2n＋1，

令bn＝a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＋2(2n)＝8n－1， 故a1＋a2＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10 ＝

10×(b1＋b10)

＝430.

2

1

10．(2018·百校联盟联考)已知数列{an}的奇数项和偶数项均为公比为q的等比数列，q＝，2且a1＝2a2＝1，则数列{3an＋n－7}的前n项和的最小值为________． 105

答案 －

8

14

解析 当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*

)，

n?1ak－1

n＝a2k－1＝a1q＝??1?2??k－1?＝??1?2???

2；

当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*

)，

nak－1

n＝a2k＝a2q＝??1?2??k?＝??1?2???

2， ??1?n?1综上a???2??

2，n为奇数，

n＝

??1n????2???

2，n为偶数.

设bn＝3an＋n－7.

n为偶数时， Sn＝b1＋b2＋…＋bn

?n1－??1?1???2??

22??1－??1?2?n??2????2＝3

??＋(1＋2＋…＋n)－7n＝9??1－??1?n??

n－13n?

1－1＋1??2?2??

＋2. 21－2

??

2又

n－13n＝1?

2

2??n－132??2169

?－8

. 当n≥7时， 2因为f(n)＝n－13n2

是关于n的增函数，

(n)＝9???1－??1?2?n又g??

?2??

也是关于n的增函数，

所以S8

因为S1851054513

8＝－16，S6＝－8，S4＝－4，S2＝－2，

所以S6

所以当n为偶数时，S105

6最小，S6＝－8

，

n为奇数时， Sn＝b1＋b2＋…＋bn

??11－?1?n???2??

21??1??1?n2???＝3

?＋2?1－??2???

?＋ ?

1－12

1－12

??

15

?1n－13n1?n2??(1＋2＋…＋n)－7n＝3?3－2×????＋2. ?2???

2

又

n2－13n1?

2

13?2169

＝?n－?－. 2?2?8

当n≥7时，因为f(n)＝

n2－13n2

是关于n的增函数，

?11?n2???又g(n)＝3?3－2×???也是关于n的增函数， ?2???

所以S7

5125

因为S7＝－，S5＝－，S3＝－9，S1＝－3，

42所以S7

51

所以当n为奇数时，S7最小，S7＝－. 4105

又因为S7>S6，综上可知(Sn)min＝S6＝－.

8

11．(2018·天津市滨海新区七所重点学校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1(n∈N)，数列{bn}满足nbn＋1－(n＋1)bn＝n(n＋1)(n∈N)，且b1＝1， (1)证明数列??为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；

?n??bn?

*

*

(2)若cn＝(－1)

n－1

4?n＋1?

，求数列{cn}的前2n项和T2n；

?3＋2log2an??3＋2log2an＋1?

*

(3)若dn＝an·bn，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N，都有Dn≤nSn－a，求实数a的取值范围．

解 (1)由nbn＋1－(n＋1)bn＝n(n＋1)两边同除以n(n＋1)， 得

bn＋1bn－＝1， n＋1n?bn?

从而数列??为首项＝1，公差d＝1的等差数列，

1?n?所以＝n(n∈N)，

数列{bn}的通项公式为bn＝n.

当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1. 当n≥2时，Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1， 两式相减得an＝2an－1， 又a1＝1≠0，所以

2

b1

bnn*

an＝2， an－1

16