(全国通用版)2019最新高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的求和问题学案 文

?1?即实数λ的取值范围是?，＋∞?∪(－∞，－1]． ?3?

思维升华 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件． (2)常用的裂项公式 ①若{an}是等差数列，则②③④⑤

1?1?1?111?1

＝?－，＝?－??； anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?1

*

1?11111?1

＝－，＝?－?；

n?n＋1?nn＋1n?n＋k?k?nn＋k?1?11?1－＝??；

?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?111?1?； －＝??n?n＋1??n＋2?2?n?n＋1??n＋1??n＋2??

11

＝n＋1－n，＝(n＋k－n)．

n＋n＋1n＋n＋kk*

1

跟踪演练3 (2018·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an>0(n∈N)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log1a2n?1，数列?

2?

?bnbn＋1?

2?

?的前n项和为Tn，求Tn.

解 (1)∵S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项， ∴2(S6＋a6)＝S4＋a4＋S5＋a5， ∴S6＋a6－S4－a4＝S5＋a5－S6－a6， 化简得4a6＝a4，

a612

设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝，

a44

1*

∵an>0(n∈N)，∴q>0，∴q＝，

2

?1?n－1?1?n－2*

∴an＝2×??＝??(n∈N)．

?2??2?

?1?(2)由(1)得，bn＝log1a2n?1＝log1??22?2?设cn＝＝

2n?3＝2n－3.

2

bnbn＋1

＝2

(2n－3)?2n－1?

11

－. 2n－32n－1

5

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝?

?1－1?＋?1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1?

??????2n－32n－1??－11??13??35???

12n*＝－1－＝－(n∈N)．

2n－12n－1

6

真题体验

1

1．(2017·全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则? ＝________.

k＝1nSk答案

2n*

(n∈N) n＋1

解析 设等差数列{an}的公差为d，

a3＝a1＋2d＝3，??由?4×3

Sd＝10，4＝4a1＋?2?

∴Sn＝n×1＋1＝

n

2

??a1＝1，

得?

?d＝1.?

n?n－1?

2

×1＝

n?n＋1?

，

Sn1?2?1

＝2?－?.

n?n＋1??nn＋1?

11111∴? ＝＋＋＋…＋

k＝1

SkS1S2S3Sn11??11111

＝2?1－＋－＋－＋…＋－

nn＋1??22334?＝2?1－

?

?

1?2n*

＝(n∈N)． ?n＋1?n＋1

*

2．(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N)．

解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q)＝12，而b1＝2， 所以q＋q－6＝0.

又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，② 联立①②，解得a1＝1，d＝3， 由此可得an＝3n－2(n∈N)．

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n∈N)，数列{bn}的通项公式为bn＝2(n∈N)．

7

*

*

2

2

*

nn*

(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4故Tn＝2×4＋5×4＋8×4＋…＋(3n－1)×4，③ 4Tn＝2×4＋5×4＋8×4＋…＋(3n－4)×4＋(3n－1)×4

2

3

2

3

4

2

3

n－1

，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4，

nnnn＋1

，④

n＋1

③－④，得－3Tn＝2×4＋3×4＋3×4＋…＋3×4－(3n－1)×412×?1－4?n＋1＝－4－(3n－1)×4

1－4＝－(3n－2)×4

n＋1

nn

－8，

3n－2n＋18*

得Tn＝×4＋(n∈N)．

33

3n－2n＋18*

所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋(n∈N)．

33押题预测

n＋2*

1．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N)，其前n项和为Sn，若存在M∈Z，满足

2n?n＋1?

对任意的n∈N，都有Sn

押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循． 答案 1

*

n＋22?n＋1?－n解析 因为an＝n＝n

2n?n＋1?2n?n＋1?

＝

1－， n－1n2n2?n＋1?

1?1?01－11?＋?11－21?＋…＋?n1

＝1－n， －1－n?????2?n＋1??2×12×2??2×22×3??2n2?n＋1??1

所以Sn＝?

1

由于1－n<1，所以M的最小值为1.

2?n＋1?

2．数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n，数列{bn}满足： 122

①b3＝；②bn>0；③2bn＋1＋bn＋1bn－bn＝0.

4(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式．

解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n∈N)， 又a1＝1满足an＝2n－1，

8

*2