2018-2019年高考理科数学通用版专题二轮复习课时跟踪检测(二十一) 坐标系与参数方程 及答案

课时跟踪检测（二十一） 坐标系与参数方程

1．(2017·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．

(1)求C的直角坐标方程； 1?x＝t，?2

(2)直线l：?

3

y＝1＋t?2?轴交于点E，求|EA|＋|EB|.

解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y， 即(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 化简得t2－t－1＝0， 点E对应的参数t＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，

所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝

(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与yt1＋t2

2

－4t1t2＝5.

?x＝cos α，

2．(2017·张掖模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：?2

?y＝sinα

(α为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρcos?θ－?＝－

??π?4?

2

，曲线C3：ρ＝2sin θ. 2

(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；

1

(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值． ?x＝cos α，

解：(1)曲线C1：?2

?y＝sinα

消去参数α，

得y＋x2＝1，x∈[－1,1]．①

π?2?

曲线C2：ρcos?θ－?＝－?x＋y＋1＝0，②

4?2?

联立①②，消去y可得x2－x－2＝0?x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1,0)． (2)曲线C3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r＝1的圆．

设圆心为C，则点C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝的最小值为2－1.

3．(2018届高三·昆明一中调研)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，

|0＋1＋1|

＝2，所以|AB|2

x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为?23，?，曲线C?x＝2cos α，

的参数方程为?

?y＝－3＋2sin α??π?6?

(α为参数)．

(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；

(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值．

解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得点P的直角坐标为(3，3)，由?x＝2cos α，?

?y＝－3＋2sin α

(α为参数)

得x2＋(y＋3)2＝4，

∴曲线C的直角坐标方程为x＋(y＋3)＝4. (2)直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0，

2

2

2

?x＝2cos α，

曲线C的参数方程为?

?y＝－3＋2sin α

(α为参数)，

?3?

设Q(2cos α，－3＋2sin α)，则M?＋cos α，sin α?，

?2?故点M到直线l的距离

?3??

?＋cos α＋2sin α＋1??5?2??d＝＝12＋22

－5＋≥

552

α＋φ5

5?＋?2?

1?5?

tan φ＝?， ＝－1?

2?2?

5

－1. 2

∴点M到直线l的距离的最小值为

4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点

P的轨迹C2的直角坐标方程；

π??

(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

3??解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝

4

.

cos θ由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·?sin?α－?? ?π?3??

＝2?sin?2α－?－?≤2＋3.

3?2???

3

1

2

????π??3??